Vamos resolver passo a passo usando a Interpolação de Lagrange para os pontos (1, 2), (2, 3) e (3, 5). O polinômio interpolador de Lagrange é dado por: \[ P(x) = \sum_{i=0}^{n} y_i \cdot L_i(x) \] onde \[ L_i(x) = \prod_{\substack{j=0 \\ j \neq i}}^{n} \frac{x - x_j}{x_i - x_j} \] Para os pontos: - \( (x_0, y_0) = (1, 2) \) - \( (x_1, y_1) = (2, 3) \) - \( (x_2, y_2) = (3, 5) \) Calculamos os polinômios base \( L_0(x), L_1(x), L_2(x) \): 1. \( L_0(x) = \frac{(x - x_1)(x - x_2)}{(x_0 - x_1)(x_0 - x_2)} = \frac{(x - 2)(x - 3)}{(1 - 2)(1 - 3)} = \frac{(x - 2)(x - 3)}{(-1)(-2)} = \frac{(x - 2)(x - 3)}{2} \) 2. \( L_1(x) = \frac{(x - x_0)(x - x_2)}{(x_1 - x_0)(x_1 - x_2)} = \frac{(x - 1)(x - 3)}{(2 - 1)(2 - 3)} = \frac{(x - 1)(x - 3)}{(1)(-1)} = - (x - 1)(x - 3) \) 3. \( L_2(x) = \frac{(x - x_0)(x - x_1)}{(x_2 - x_0)(x_2 - x_1)} = \frac{(x - 1)(x - 2)}{(3 - 1)(3 - 2)} = \frac{(x - 1)(x - 2)}{(2)(1)} = \frac{(x - 1)(x - 2)}{2} \) Agora, o polinômio interpolador: \[ P(x) = y_0 L_0(x) + y_1 L_1(x) + y_2 L_2(x) = 2 \cdot L_0(x) + 3 \cdot L_1(x) + 5 \cdot L_2(x) \] Queremos o valor em \( x = 2,5 \): Calculando cada \( L_i(2,5) \): - \( L_0(2,5) = \frac{(2,5 - 2)(2,5 - 3)}{2} = \frac{(0,5)(-0,5)}{2} = \frac{-0,25}{2} = -0,125 \) - \( L_1(2,5) = - (2,5 - 1)(2,5 - 3) = - (1,5)(-0,5) = - (-0,75) = 0,75 \) - \( L_2(2,5) = \frac{(2,5 - 1)(2,5 - 2)}{2} = \frac{(1,5)(0,5)}{2} = \frac{0,75}{2} = 0,375 \) Agora, substituindo: \[ P(2,5) = 2 \times (-0,125) + 3 \times 0,75 + 5 \times 0,375 = -0,25 + 2,25 + 1,875 = 3,875 \] Arredondando para uma das alternativas dadas, o valor mais próximo é 4,0. Resposta correta: Alternativa 2: 4,0.