Para resolver essa questão, precisamos primeiro encontrar os pontos críticos da função de custo \( C(x,y) = x^2 + y^2 - 4x - 6y + 10 \). Para isso, devemos calcular as derivadas parciais em relação a \( x \) e \( y \) e igualá-las a zero. 1. Derivadas parciais: - \( \frac{\partial C}{\partial x} = 2x - 4 \) - \( \frac{\partial C}{\partial y} = 2y - 6 \) 2. Encontrando os pontos críticos: - Igualando as derivadas a zero: - \( 2x - 4 = 0 \) → \( x = 2 \) - \( 2y - 6 = 0 \) → \( y = 3 \) Portanto, temos um ponto crítico em \( (2, 3) \). 3. Classificando o ponto crítico usando o teste da segunda derivada: - Calculamos as segundas derivadas: - \( f_{xx} = \frac{\partial^2 C}{\partial x^2} = 2 \) - \( f_{yy} = \frac{\partial^2 C}{\partial y^2} = 2 \) - \( f_{xy} = \frac{\partial^2 C}{\partial x \partial y} = 0 \) 4. Determinante \( D \): - \( D = f_{xx} \cdot f_{yy} - (f_{xy})^2 = 2 \cdot 2 - 0^2 = 4 \) 5. Classificação: - Como \( D > 0 \) e \( f_{xx} > 0 \), podemos concluir que o ponto \( (2, 3) \) é um ponto de mínimo local. Agora, analisando as alternativas: A) A função possui um ponto de mínimo local em (2,3). (Correta) B) A função possui um ponto de sela em (2,3). (Incorreta) C) A função possui um ponto de máximo local em (2,3). (Incorreta) D) A função não possui pontos críticos. (Incorreta) Portanto, a alternativa correta é: A) A função possui um ponto de mínimo local em (2,3).