Para calcular a derivada de \( y \) em relação a \( x \) a partir da equação implícita \( xy^2 + y + x = 1 \), vamos usar a regra da diferenciação implícita. 1. Diferencie ambos os lados da equação em relação a \( x \): \[ \frac{d}{dx}(xy^2) + \frac{d}{dx}(y) + \frac{d}{dx}(x) = \frac{d}{dx}(1) \] 2. Aplicando a regra do produto e a regra da cadeia: - Para \( xy^2 \): \[ \frac{d}{dx}(xy^2) = y^2 \frac{d}{dx}(x) + x \frac{d}{dx}(y^2) = y^2 + x(2y \frac{dy}{dx}) \] - Para \( y \): \[ \frac{d}{dx}(y) = \frac{dy}{dx} \] - Para \( x \): \[ \frac{d}{dx}(x) = 1 \] 3. Substituindo na equação: \[ y^2 + x(2y \frac{dy}{dx}) + \frac{dy}{dx} + 1 = 0 \] 4. Reorganizando a equação: \[ x(2y \frac{dy}{dx}) + \frac{dy}{dx} = -y^2 - 1 \] \[ \frac{dy}{dx}(x(2y) + 1) = -y^2 - 1 \] 5. Isolando \( \frac{dy}{dx} \): \[ \frac{dy}{dx} = \frac{-y^2 - 1}{x(2y) + 1} \] Portanto, a derivada de \( y \) em relação a \( x \) é: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{-y^2 - 1}{2xy + 1} \] Essa é a resposta que você procura!