Para resolver essa questão, precisamos entender como a quantidade de sal no tanque muda ao longo do tempo. 1. Condições iniciais: - Volume inicial de água: 1.000 L - Sal inicial: 15 kg - Taxa de entrada de água pura: 10 L/min - Taxa de saída da solução: 10 L/min Como a água entra e sai na mesma taxa, o volume total de água no tanque permanece constante em 1.000 L. 2. Concentração de sal: A concentração inicial de sal é: \[ C_0 = \frac{15 \text{ kg}}{1000 \text{ L}} = 0,015 \text{ kg/L} \] 3. Mudança na quantidade de sal: A quantidade de sal no tanque diminui à medida que a água salgada escoa. A taxa de saída de sal é proporcional à concentração de sal no tanque. A quantidade de sal \( S(t) \) no tanque após \( t \) minutos pode ser modelada pela seguinte equação diferencial: \[ \frac{dS}{dt} = -\frac{S(t)}{1000} \cdot 10 \] Simplificando, temos: \[ \frac{dS}{dt} = -\frac{S(t)}{100} \] 4. Solução da equação diferencial: Essa é uma equação diferencial separável. Integrando, obtemos: \[ \int \frac{1}{S} dS = -\frac{1}{100} \int dt \] Isso resulta em: \[ \ln |S| = -\frac{t}{100} + C \] Usando a condição inicial \( S(0) = 15 \) kg, podemos encontrar \( C \): \[ \ln(15) = C \] Portanto, a solução geral é: \[ S(t) = 15 e^{-\frac{t}{100}} \] 5. Cálculo do sal após \( t \) minutos: (a) Para calcular a quantidade de sal após \( t \) minutos, usamos a fórmula: \[ S(t) = 15 e^{-\frac{t}{100}} \] (b) Para \( t = 20 \) minutos: \[ S(20) = 15 e^{-\frac{20}{100}} = 15 e^{-0,2} \approx 15 \cdot 0,8187 \approx 12,28 \text{ kg} \] Portanto, a quantidade de sal no tanque após \( t \) minutos é \( S(t) = 15 e^{-\frac{t}{100}} \) e após 20 minutos, há aproximadamente 12,28 kg de sal no tanque.