Pergunta 3 Uma transformação linear T colon space V space rightwards arrow space W preserva a adição e a multiplicação por escalar. Dizemos que o espa

Question

Pergunta 3 Uma transformação linear T colon space V space rightwards arrow space W preserva a adição e a multiplicação por escalar. Dizemos que o espaço vetorial V é o domínio da transformação, e o espaço vetorial W é o contradomínio da transformação. Se v with rightwards arrow on top é um vetor pertencente ao espaço V, então T open parentheses v with rightwards arrow on top close parentheses é a imagem de v with rightwards arrow on top sob T. Seja T colon R squared rightwards arrow R squared uma transformação linear tal que T left parenthesis 1 comma 0 right parenthesis space equals space left parenthesis 1 comma negative 1 right parenthesis e T left parenthesis 0 comma 1 right parenthesis space equals space left parenthesis 0 comma 2 right parenthesis. Selecione a alternativa que apresenta a imagem de left parenthesis 3 comma 1 right parenthesis space sob a transformação T. a. left parenthesis 3 comma 1 right parenthesis. b. left parenthesis 3 comma negative 1 right parenthesis. c. left parenthesis 1 comma 2 right parenthesis. d. left parenthesis 1 comma 0 right parenthesis. e. left parenthesis 3 comma negative 2 right parenthesis.

Ed · Answer

Para encontrar a imagem do vetor $ (3, 1) $ sob a transformação linear $ T $, precisamos usar as informações dadas sobre como $ T $ age sobre os vetores da base canônica.

Sabemos que:
- $ T(1, 0) = (1, -1) $
- $ T(0, 1) = (0, 2) $

Podemos expressar o vetor $ (3, 1) $ como uma combinação linear dos vetores da base:
$$
(3, 1) = 3(1, 0) + 1(0, 1)
$$

Agora, aplicamos a transformação $ T $ a essa combinação linear:
$$
T(3, 1) = T(3(1, 0) + 1(0, 1)) = 3T(1, 0) + 1T(0, 1)
$$

Substituindo os valores conhecidos:
$$
T(3, 1) = 3(1, -1) + 1(0, 2)
$$

Calculando isso:
$$
= (3 \cdot 1, 3 \cdot -1) + (0, 2) = (3, -3) + (0, 2) = (3, -3 + 2) = (3, -1)
$$

Portanto, a imagem de $ (3, 1) $ sob a transformação $ T $ é $ (3, -1) $.

Analisando as alternativas, a resposta correta é:
b) $ (3, -1) $

Álgebra Linear

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