Para calcular a derivada direcional da função \( f(x,y,z) = xy + y^2z \) no ponto \( P = (7, -2, 1) \) na direção do vetor \( \mathbf{U} = (2, 2, 1) \), precisamos seguir os seguintes passos: 1. Encontrar o vetor unitário na direção de \( \mathbf{U} \): \[ \|\mathbf{U}\| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3 \] O vetor unitário \( \mathbf{u} \) é: \[ \mathbf{u} = \left( \frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{3} \right) \] 2. Calcular as derivadas parciais de \( f \): - \( f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = y \) - \( f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = x + 2yz \) - \( f_z = \frac{\partial f}{\partial z} = y^2 \) 3. Avaliar as derivadas parciais no ponto \( P = (7, -2, 1) \): - \( f_x(7, -2, 1) = -2 \) - \( f_y(7, -2, 1) = 7 + 2(-2)(1) = 7 - 4 = 3 \) - \( f_z(7, -2, 1) = (-2)^2 = 4 \) 4. Formar o gradiente \( \nabla f \): \[ \nabla f(7, -2, 1) = \left( -2, 3, 4 \right) \] 5. Calcular a derivada direcional: \[ D_{\mathbf{u}} f = \nabla f \cdot \mathbf{u} = (-2, 3, 4) \cdot \left( \frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{3} \right) \] \[ D_{\mathbf{u}} f = -2 \cdot \frac{2}{3} + 3 \cdot \frac{2}{3} + 4 \cdot \frac{1}{3} = -\frac{4}{3} + 2 + \frac{4}{3} = 2 \] Portanto, a derivada direcional \( D_{\mathbf{u}} f \) no ponto \( P \) na direção do vetor \( \mathbf{U} \) é 2. A alternativa correta é: E 2.