Para resolver o problema do fazendeiro, vamos definir as variáveis: - Seja \( x \) a largura do galinheiro (lado paralelo ao muro). - Seja \( y \) o comprimento do galinheiro (lado perpendicular ao muro). O custo da cerca é dado por: - O lado paralelo ao muro (comprimento \( x \)) custa R$ 5,00 por metro. - Os dois lados perpendiculares ao muro (comprimento \( y \)) custam R$ 10,00 por metro cada. Assim, a equação do custo total da cerca é: \[ C = 5x + 10y + 10y = 5x + 20y \] Sabemos que o orçamento é de R$ 800,00, então: \[ 5x + 20y = 800 \] Podemos simplificar essa equação dividindo tudo por 5: \[ x + 4y = 160 \] Agora, queremos maximizar a área \( A \) do galinheiro, que é dada por: \[ A = x \cdot y \] Podemos expressar \( y \) em função de \( x \) a partir da equação do custo: \[ 4y = 160 - x \implies y = \frac{160 - x}{4} \] Substituindo \( y \) na equação da área: \[ A = x \cdot \frac{160 - x}{4} = \frac{160x - x^2}{4} \] Para maximizar a área, derivamos \( A \) em relação a \( x \) e igualamos a zero: \[ \frac{dA}{dx} = \frac{160 - 2x}{4} = 0 \] Resolvendo: \[ 160 - 2x = 0 \implies 2x = 160 \implies x = 80 \] Agora, substituímos \( x = 80 \) na equação de \( y \): \[ y = \frac{160 - 80}{4} = \frac{80}{4} = 20 \] Portanto, as dimensões do galinheiro que maximizam a área, respeitando o orçamento, são: - Largura \( x = 80 \) metros (lado paralelo ao muro) - Comprimento \( y = 20 \) metros (lado perpendicular ao muro) Assim, o galinheiro terá 80 metros de largura e 20 metros de comprimento.