Para resolver a integral de linha do campo vetorial \( F(x,y) = 6y \hat{i} + 7x \hat{j} \) ao longo da circunferência de raio 1 centrada na origem, precisamos parametrizar a circunferência. A parametrização da circunferência de raio 1 é dada por: \[ x = \cos(t), \quad y = \sin(t), \quad \text{com } t \in [0, 2\pi]. \] Agora, calculamos \( F \) em termos de \( t \): \[ F(x,y) = F(\cos(t), \sin(t)) = 6\sin(t) \hat{i} + 7\cos(t) \hat{j}. \] A derivada da parametrização em relação a \( t \) é: \[ \frac{d\mathbf{r}}{dt} = \left(-\sin(t), \cos(t)\right). \] A integral de linha é dada por: \[ \int_C F \cdot d\mathbf{r} = \int_0^{2\pi} F(\cos(t), \sin(t)) \cdot \frac{d\mathbf{r}}{dt} \, dt. \] Substituindo \( F \) e \( \frac{d\mathbf{r}}{dt} \): \[ \int_0^{2\pi} (6\sin(t), 7\cos(t)) \cdot (-\sin(t), \cos(t)) \, dt. \] Calculando o produto escalar: \[ = \int_0^{2\pi} \left( -6\sin^2(t) + 7\cos^2(t) \right) dt. \] Separando as integrais: \[ = -6 \int_0^{2\pi} \sin^2(t) \, dt + 7 \int_0^{2\pi} \cos^2(t) \, dt. \] Sabemos que: \[ \int_0^{2\pi} \sin^2(t) \, dt = \int_0^{2\pi} \cos^2(t) \, dt = \pi. \] Portanto: \[ = -6\pi + 7\pi = \pi. \] Assim, a integral de linha de \( F \) ao longo da circunferência é \( \pi \). Analisando as alternativas: A -π (falsa) B 2π A (falsa) C 2 5π A (falsa) D 2 π (falsa) E 2 (falsa) Nenhuma das alternativas corresponde ao resultado correto. A resposta correta é \( \pi \), que não está listada. Se precisar de mais ajuda, estou à disposição!