A solução particular da equação 4y''+4y'+y=0, quando y(0)=2 e y' (0)=8 Clique na sua resposta abaixo e3x ex e3x (2x+2) e3x (x+1) ex (2x+2)

Para resolver a equação diferencial \(4y'' + 4y' + y = 0\) com as condições iniciais \(y(0) = 2\) e \(y'(0) = 8\), primeiro precisamos encontrar a solução geral da equação. 1. Encontrar a equação característica: A equação característica associada é \(4r^2 + 4r + 1 = 0\). Resolvendo essa equação, obtemos: \[ r = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4} = \frac{-4 \pm 0}{8} = -\frac{1}{2} \] Portanto, temos uma raiz dupla \(r = -\frac{1}{2}\). 2. Solução geral: A solução geral da equação diferencial é dada por: \[ y(t) = (C_1 + C_2 t)e^{-\frac{1}{2}t} \] 3. Aplicar as condições iniciais: - Para \(y(0) = 2\): \[ y(0) = (C_1 + C_2 \cdot 0)e^{0} = C_1 = 2 \] - Para \(y'(t)\), precisamos calcular a derivada: \[ y'(t) = \left(C_2 e^{-\frac{1}{2}t} + (C_1 + C_2 t)(-\frac{1}{2}e^{-\frac{1}{2}t})\right) \] Substituindo \(C_1 = 2\): \[ y'(t) = C_2 e^{-\frac{1}{2}t} - \frac{1}{2}(2 + C_2 t)e^{-\frac{1}{2}t} \] Simplificando: \[ y'(t) = \left(C_2 - 1 - \frac{1}{2}C_2 t\right)e^{-\frac{1}{2}t} \] Agora, aplicando \(y'(0) = 8\): \[ y'(0) = (C_2 - 1)e^{0} = C_2 - 1 = 8 \implies C_2 = 9 \] 4. Solução particular: Substituindo \(C_1\) e \(C_2\) na solução geral: \[ y(t) = (2 + 9t)e^{-\frac{1}{2}t} \] Portanto, a solução particular da equação é: \[ y(t) = (2 + 9t)e^{-\frac{1}{2}t} \]