Para determinar o valor de \( (9+n+p) \), precisamos calcular o produto vetorial \( \vec{u} \times \vec{v} \). Dado: \[ \vec{u} = (1, 4, -1) \quad \text{e} \quad \vec{v} = (-1, 0, 2) \] O produto vetorial \( \vec{u} \times \vec{v} \) é dado pela seguinte fórmula: \[ \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 4 & -1 \\ -1 & 0 & 2 \end{vmatrix} \] Calculando o determinante: \[ \vec{u} \times \vec{v} = \hat{i} \begin{vmatrix} 4 & -1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} - \hat{j} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} + \hat{k} \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} \] Calculando cada um dos determinantes: 1. Para \( \hat{i} \): \[ 4 \cdot 2 - (-1) \cdot 0 = 8 \] 2. Para \( \hat{j} \): \[ 1 \cdot 2 - (-1) \cdot (-1) = 2 - 1 = 1 \quad \text{(lembre-se do sinal negativo)} \Rightarrow -1 \] 3. Para \( \hat{k} \): \[ 1 \cdot 0 - 4 \cdot (-1) = 0 + 4 = 4 \] Portanto, temos: \[ \vec{u} \times \vec{v} = (8, -1, 4) \] Comparando com \( (8, n, n - p) \), obtemos: - \( n = -1 \) - \( n - p = 4 \) Substituindo \( n \) na segunda equação: \[ -1 - p = 4 \Rightarrow p = -5 \] Agora, substituímos \( n \) e \( p \) na expressão \( 9 + n + p \): \[ 9 + (-1) + (-5) = 9 - 1 - 5 = 3 \] Portanto, o valor de \( (9+n+p) \) é \( 3 \).