Para resolver um sistema de equações diferenciais lineares homogêneo com coeficientes constantes, podemos utilizar o método dos autovalores para encon

Question

Para resolver um sistema de equações diferenciais lineares homogêneo com coeficientes constantes, podemos utilizar o método dos autovalores para encontrar a solução do sistema. Uma das etapas desse método é encontrar o autovalor da matriz de coeficientes do sistema. Considerando a matriz bold A equals open square brackets table row 4 cell negative 3 end cell row 8 cell negative 6 end cell end table close square brackets Determine os autovalores, λ, associados à essa matriz Assinale a alternativa correta. Escolha uma: a. λ = 0 e λ = -2. b. λ = 0 e λ = 2. c. λ = 1 e λ = 2. d. λ = -1 e λ = -2. e. λ = -1 e λ = 2.

Ed · Answer

Para encontrar os autovalores da matriz $ A = \begin{bmatrix} 4 & -3 \ 8 & -6 \end{bmatrix} $, precisamos calcular o determinante da matriz $ A - \lambda I $, onde $ I $ é a matriz identidade e $ \lambda $ é o autovalor.

A matriz $ A - \lambda I $ fica assim:

$$
A - \lambda I = \begin{bmatrix} 4 - \lambda & -3 \ 8 & -6 - \lambda \end{bmatrix}
$$

O determinante é dado por:

$$
\text{det}(A - \lambda I) = (4 - \lambda)(-6 - \lambda) - (-3)(8)
$$

Calculando o determinante:

$$
= (4 - \lambda)(-6 - \lambda) + 24
$$
$$
= -24 + 6\lambda + 4\lambda - \lambda^2 + 24
$$
$$
= -\lambda^2 + 10\lambda
$$

Igualando a zero para encontrar os autovalores:

$$
-\lambda^2 + 10\lambda = 0
$$
$$
\lambda(\lambda - 10) = 0
$$

Portanto, os autovalores são:

$$
\lambda_1 = 0 \quad \text{e} \quad \lambda_2 = 10
$$

Analisando as alternativas:

a. λ = 0 e λ = -2.  
b. λ = 0 e λ = 2.  
c. λ = 1 e λ = 2.  
d. λ = -1 e λ = -2.  
e. λ = -1 e λ = 2.

Nenhuma das alternativas apresenta os autovalores corretos (0 e 10). Portanto, parece que não há uma alternativa correta entre as opções apresentadas.

Cálculo Numérico

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