Pergunta 7 A equação da reta que passa pelos pontos A equals left parenthesis 1 comma 0 comma 2 right parenthesis e B equals left parenthesis 4 comma

Question

Pergunta 7 A equação da reta que passa pelos pontos A equals left parenthesis 1 comma 0 comma 2 right parenthesis e B equals left parenthesis 4 comma 2 comma 1 right parenthesis pode ser escrita da seguinte forma: a. r colon space open curly brackets table row cell y equals 2 x end cell row cell z equals negative x end cell end table close b. r colon space fraction numerator x minus 1 over denominator 3 end fraction equals y over 2 equals fraction numerator z minus 2 over denominator negative 1 end fraction c. r colon space open curly brackets table row cell y equals x plus 4 end cell row cell z equals 2 x plus 1 end cell end table close d. r colon space open curly brackets table row cell x equals 1 plus 3 t end cell row cell y equals negative 1 plus 2 t end cell row cell z equals 2 plus 2 t end cell end table space space close e. r colon space left parenthesis x comma y comma z right parenthesis equals space left parenthesis 1 comma space 0 comma space 2 right parenthesis plus t left parenthesis 4 comma space 2 comma space 1 right parenthesis

Ed · Answer

Para encontrar a equação da reta que passa pelos pontos $ A(1, 0, 2) $ e $ B(4, 2, 1) $, precisamos primeiro determinar o vetor diretor da reta, que é dado pela diferença entre as coordenadas dos pontos $ A $ e $ B $.

O vetor diretor $ \vec{d} $ é calculado como:
$$
\vec{d} = B - A = (4 - 1, 2 - 0, 1 - 2) = (3, 2, -1)
$$

Agora, a equação paramétrica da reta pode ser escrita como:
$$
\vec{r}(t) = A + t \cdot \vec{d} = (1, 0, 2) + t(3, 2, -1)
$$

Isso resulta nas seguintes equações paramétricas:
$$
x = 1 + 3t
$$
$$
y = 0 + 2t
$$
$$
z = 2 - t
$$

Agora, vamos analisar as alternativas:

a) Não corresponde à forma que encontramos.
b) Não corresponde à forma que encontramos.
c) Não corresponde à forma que encontramos.
d) Esta opção corresponde à forma que encontramos, pois apresenta as equações paramétricas corretamente.
e) Esta opção não está correta, pois não representa a forma que encontramos.

Portanto, a alternativa correta é:
**d)** $ r: \{ x = 1 + 3t, y = -1 + 2t, z = 2 + 2t \} $

Cálculo Vetorial

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