Para encontrar o valor de \( k \) da densidade de probabilidade \( f(x) = 3x \) no intervalo \( 2 \leq x \leq k \), precisamos garantir que a integral da função de densidade de probabilidade sobre esse intervalo seja igual a 1. Assim, devemos resolver a seguinte integral: \[ \int_{2}^{k} 3x \, dx = 1 \] Calculando a integral: \[ \int 3x \, dx = \frac{3x^2}{2} \] Agora, avaliamos a integral de 2 a \( k \): \[ \left[ \frac{3x^2}{2} \right]_{2}^{k} = \frac{3k^2}{2} - \frac{3(2^2)}{2} = \frac{3k^2}{2} - \frac{3 \cdot 4}{2} = \frac{3k^2}{2} - 6 \] Igualando a 1: \[ \frac{3k^2}{2} - 6 = 1 \] Resolvendo a equação: \[ \frac{3k^2}{2} = 7 \] Multiplicando ambos os lados por 2: \[ 3k^2 = 14 \] Dividindo por 3: \[ k^2 = \frac{14}{3} \] E, portanto: \[ k = \sqrt{\frac{14}{3}} = \frac{\sqrt{42}}{3} \] Agora, vamos analisar as alternativas para encontrar a que corresponde a \( k \): a) 14859 b) 3,1 c) 3 d) \( \sqrt{1517} \) e) \( \sqrt{143} \) Nenhuma das alternativas parece corresponder diretamente ao resultado que encontramos. No entanto, se considerarmos que \( \sqrt{42} \) é aproximadamente 6,48, então \( \frac{\sqrt{42}}{3} \) é aproximadamente 2,16, que não está entre as opções. Parece que houve um erro nas opções ou na formulação da questão. Você deve verificar se as alternativas estão corretas ou se a questão foi transcrita corretamente.