Em que base r o decimal 22213 equivale a 106?

Para descobrir em que base \( r \) o número decimal \( 22213 \) equivale a \( 106 \), precisamos expressar \( 22213 \) na base \( r \). A representação do número \( 22213 \) na base \( r \) é dada por: \[ 2 \cdot r^4 + 2 \cdot r^3 + 2 \cdot r^2 + 1 \cdot r^1 + 3 \cdot r^0 = 106 \] Isso se traduz na seguinte equação: \[ 2r^4 + 2r^3 + 2r^2 + r + 3 = 106 \] Agora, simplificamos a equação: \[ 2r^4 + 2r^3 + 2r^2 + r - 103 = 0 \] Para encontrar a base \( r \), você pode tentar valores inteiros para \( r \) e verificar qual deles satisfaz a equação. Por exemplo, testando \( r = 4 \): \[ 2(4^4) + 2(4^3) + 2(4^2) + 4 - 103 = 2(256) + 2(64) + 2(16) + 4 - 103 = 512 + 128 + 32 + 4 - 103 = 573 \] (não é igual a 0) Testando \( r = 3 \): \[ 2(3^4) + 2(3^3) + 2(3^2) + 3 - 103 = 2(81) + 2(27) + 2(9) + 3 - 103 = 162 + 54 + 18 + 3 - 103 = 134 \] (não é igual a 0) Testando \( r = 5 \): \[ 2(5^4) + 2(5^3) + 2(5^2) + 5 - 103 = 2(625) + 2(125) + 2(25) + 5 - 103 = 1250 + 250 + 50 + 5 - 103 = 1452 \] (não é igual a 0) Continue testando valores até encontrar a base correta. Se precisar de mais ajuda, é só avisar!