Em que base r o número 106 equivale a 577?

Para descobrir em que base \( r \) o número \( 106 \) equivale a \( 577 \), precisamos expressar ambos os números em termos da base \( r \). O número \( 106 \) na base \( r \) é: \[ 1 \cdot r^2 + 0 \cdot r^1 + 6 \cdot r^0 = r^2 + 6 \] O número \( 577 \) na base \( r \) é: \[ 5 \cdot r^2 + 7 \cdot r^1 + 7 \cdot r^0 = 5r^2 + 7r + 7 \] Agora, igualamos as duas expressões: \[ r^2 + 6 = 5r^2 + 7r + 7 \] Rearranjando a equação: \[ 0 = 5r^2 + 7r + 7 - r^2 - 6 \] \[ 0 = 4r^2 + 7r + 1 \] Agora, podemos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara: \[ r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] onde \( a = 4 \), \( b = 7 \) e \( c = 1 \). Calculando o discriminante: \[ b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 49 - 16 = 33 \] Agora, substituindo na fórmula: \[ r = \frac{-7 \pm \sqrt{33}}{8} \] Assim, você encontrará os valores de \( r \). Como estamos lidando com bases, considere apenas a solução positiva.