Para resolver a equação diferencial \( \frac{dy}{dt} = y \) com a condição inicial \( y(0) = 1 \) utilizando o método do ponto médio, siga os passos abaixo: 1. Defina o intervalo e o passo: O intervalo é \([0, 4]\) e o passo \( \Delta t = 1 \). 2. Calcule os pontos: Os pontos em que vamos calcular \( y \) são \( t_0 = 0 \), \( t_1 = 1 \), \( t_2 = 2 \), \( t_3 = 3 \) e \( t_4 = 4 \). 3. Inicialize a condição: Começamos com \( y_0 = y(0) = 1 \). 4. Aplique o método do ponto médio: - Para cada passo, calcule o valor de \( y \) no ponto médio: \[ y_{n+1} = y_n + f\left(t_n + \frac{\Delta t}{2}, y_n + \frac{\Delta t}{2} f(t_n, y_n)\right) \Delta t \] onde \( f(t, y) = y \). 5. Cálculos: - Para \( n = 0 \): - \( t_0 = 0 \), \( y_0 = 1 \) - Ponto médio: \( t_m = 0 + \frac{1}{2} = 0.5 \) - \( y_m = 1 + \frac{1}{2} \cdot 1 = 1.5 \) - \( y_1 = 1 + 1 \cdot 1.5 = 2.5 \) - Para \( n = 1 \): - \( t_1 = 1 \), \( y_1 = 2.5 \) - Ponto médio: \( t_m = 1 + \frac{1}{2} = 1.5 \) - \( y_m = 2.5 + \frac{1}{2} \cdot 2.5 = 3.75 \) - \( y_2 = 2.5 + 1 \cdot 3.75 = 6.25 \) - Para \( n = 2 \): - \( t_2 = 2 \), \( y_2 = 6.25 \) - Ponto médio: \( t_m = 2 + \frac{1}{2} = 2.5 \) - \( y_m = 6.25 + \frac{1}{2} \cdot 6.25 = 9.375 \) - \( y_3 = 6.25 + 1 \cdot 9.375 = 15.625 \) - Para \( n = 3 \): - \( t_3 = 3 \), \( y_3 = 15.625 \) - Ponto médio: \( t_m = 3 + \frac{1}{2} = 3.5 \) - \( y_m = 15.625 + \frac{1}{2} \cdot 15.625 = 23.4375 \) - \( y_4 = 15.625 + 1 \cdot 23.4375 = 39.0625 \) 6. Resultados: - \( y(1) \approx 2.5000 \) - \( y(2) \approx 6.2500 \) - \( y(3) \approx 15.6250 \) - \( y(4) \approx 39.0625 \) Portanto, a solução da equação diferencial utilizando o método do ponto médio, com 4 casas decimais, é: - \( y(1) = 2.5000 \) - \( y(2) = 6.2500 \) - \( y(3) = 15.6250 \) - \( y(4) = 39.0625 \)