Determine a direção e a taxa mínima em que a função f(x, y) = 4x2 - 2y3 + 2xy decresce mais rapidamente no ponto (2, -3).

Para determinar a direção e a taxa mínima em que a função \( f(x, y) = 4x^2 - 2y^3 + 2xy \) decresce mais rapidamente no ponto \( (2, -3) \), precisamos calcular o gradiente da função e, em seguida, encontrar a direção oposta a esse gradiente. 1. Calcular as derivadas parciais: - \( f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 8x + 2y \) - \( f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = -6y^2 + 2x \) 2. Avaliar as derivadas parciais no ponto \( (2, -3) \): - \( f_x(2, -3) = 8(2) + 2(-3) = 16 - 6 = 10 \) - \( f_y(2, -3) = -6(-3)^2 + 2(2) = -6(9) + 4 = -54 + 4 = -50 \) 3. Formar o gradiente: - \( \nabla f(2, -3) = (10, -50) \) 4. Direção de maior decrescimento: - A direção de maior decrescimento é oposta ao gradiente: \( (-10, 50) \). 5. Taxa mínima de decrescimento: - A taxa de decrescimento é a norma do gradiente: \[ \|\nabla f(2, -3)\| = \sqrt{10^2 + (-50)^2} = \sqrt{100 + 2500} = \sqrt{2600} = 10\sqrt{26} \] Portanto, a direção em que a função decresce mais rapidamente no ponto \( (2, -3) \) é \( (-10, 50) \) e a taxa mínima de decrescimento é \( 10\sqrt{26} \).