P1 Cálculo 2

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Prova 1 de MA- 211– Cálculo II - Turmas B e C
1.o semestre de 2024 – 05/04/2024
Nome:
RA:
Turma:
Questões Valores Notas
1.a 1.5
2.a 2.5
3.a 1.5
4.a 2.5
5.a 2.5
Total 10.5
1.a Questão. Considere a função
f(x, y) =
(x2 + y2) cos
(
1
x2 + y2
)
se (x, y) ̸= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
a) A função é contínua em (x, y) ̸= (0, 0)? Justifique sua resposta. (0.5 ponto)
b) A função é contínua em (x, y) = (0, 0)? Justifique sua resposta. (1.0 ponto)
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2.a Questão. Considere a função f(x, y) = e(x−6)(y−3) cos (x+ y − 9− π/2). Encontre (via apro-
ximação linear) um valor aproximado para f(6.01, 2.95). (2.5 pontos)
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3.a Questão. Seja g(x, y) = f(x2 + y2), onde f é uma função diferenciável. Mostre que
y
∂g
∂x
− x
∂g
∂y
= 0.
(1.5 ponto)
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4.a Questão. Seja
f(x, y) = e
√
4−x2−y2 .
a) Determine o domínio de f . (0.5 ponto)
b) Calcule a derivada direcional Dûf(1, 1) da função f no ponto (1, 1) e na direção do vetor
û =
(
− 1√
5
, 2√
5
)
. (1.0 ponto)
c) Determine a direção v̂ segundo a qual Dv̂f(1, 1) é máxima. Qual é a taxa máxima neste
ponto? (1.0 ponto)
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5a Questão. Encontre todos os valores extremos da função f(x, y) = xy, sobre a região 0 ≤
x2 + 4y2 ≤ 8 e classifique-os como máximo ou mínimo. (2.5 pontos)
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