Para resolver o problema, precisamos montar a equação diferencial que descreve o sistema massa-mola-amortecedor. A equação geral é dada por: \[ m \frac{d^2x}{dt^2} + c \frac{dx}{dt} + kx = 0 \] Substituindo os valores fornecidos: - \( m = 1 \, \text{kg} \) - \( c = 3 \, \text{N·s/m} \) - \( k = 2 \, \text{N/m} \) A equação fica: \[ 1 \frac{d^2x}{dt^2} + 3 \frac{dx}{dt} + 2x = 0 \] Ou simplificando: \[ \frac{d^2x}{dt^2} + 3 \frac{dx}{dt} + 2x = 0 \] Agora, a equação característica associada é: \[ r^2 + 3r + 2 = 0 \] Resolvendo essa equação quadrática, podemos usar a fórmula de Bhaskara: \[ r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Substituindo \( a = 1 \), \( b = 3 \), e \( c = 2 \): \[ r = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} \] \[ r = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2} \] \[ r = \frac{-3 \pm 1}{2} \] As raízes são: 1. \( r_1 = \frac{-2}{2} = -1 \) 2. \( r_2 = \frac{-4}{2} = -2 \) Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é: \[ x(t) = C_1 e^{-t} + C_2 e^{-2t} \] Agora, aplicamos as condições iniciais: 1. \( x(0) = 1 \) 2. \( \frac{dx}{dt}(0) = 0 \) Substituindo \( t = 0 \) na solução: \[ x(0) = C_1 + C_2 = 1 \] Para a derivada: \[ \frac{dx}{dt} = -C_1 e^{-t} - 2C_2 e^{-2t} \] Substituindo \( t = 0 \): \[ \frac{dx}{dt}(0) = -C_1 - 2C_2 = 0 \] Agora temos um sistema de equações: 1. \( C_1 + C_2 = 1 \) 2. \( -C_1 - 2C_2 = 0 \) Resolvendo esse sistema, da segunda equação temos: \[ C_1 = -2C_2 \] Substituindo na primeira: \[ -2C_2 + C_2 = 1 \] \[ -C_2 = 1 \] \[ C_2 = -1 \] Substituindo \( C_2 \) na primeira equação: \[ C_1 - 1 = 1 \] \[ C_1 = 2 \] Portanto, a solução particular é: \[ x(t) = 2 e^{-t} - e^{-2t} \] Essa é a resposta que descreve como o sistema responde a perturbações.