Determine a derivada direcional da função f(x, 3) = 2u' + 5, na direção do vetor ( 43, - 2) no

Para determinar a derivada direcional da função \( f(x, y) = 2u' + 5 \) na direção do vetor \( \mathbf{v} = (43, -2) \), siga os passos abaixo: 1. Calcule o gradiente da função: O gradiente \( \nabla f \) é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável. Se \( u' \) é uma função de \( x \) e \( y \), você precisa calcular \( \frac{\partial f}{\partial x} \) e \( \frac{\partial f}{\partial y} \). 2. Normalize o vetor de direção: O vetor \( \mathbf{v} = (43, -2) \) deve ser normalizado. A norma do vetor é dada por: \[ ||\mathbf{v}|| = \sqrt{43^2 + (-2)^2} = \sqrt{1849 + 4} = \sqrt{1853} \] O vetor unitário na direção de \( \mathbf{v} \) é: \[ \mathbf{u} = \left( \frac{43}{\sqrt{1853}}, \frac{-2}{\sqrt{1853}} \right) \] 3. Calcule a derivada direcional: A derivada direcional \( D_{\mathbf{u}} f \) é dada pelo produto escalar do gradiente e do vetor unitário: \[ D_{\mathbf{u}} f = \nabla f \cdot \mathbf{u} \] Substitua os valores do gradiente e do vetor unitário para encontrar a derivada direcional. Se precisar de mais detalhes sobre como calcular o gradiente ou a função \( u' \), é só avisar!