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Com base no seu conhecimento acerca das integrais das funções trigonométricas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) A integral do seno relaciona-se com o cosseno.
II. ( ) A integral da tangente relaciona-se com a secante.
III. ( ) A derivada primeira e a integral do seno são iguais.
IV. ( ) Ao integrar duas vezes a função seno, obtém-se -sen(x).

Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
1. V, F, F, V.
2. F, F, V, V.
3. Correta: V, V, F, V. Resposta correta
4. V, F, V, F.
5. F, V, F, F.
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Vamos analisar cada uma das afirmativas sobre as integrais das funções trigonométricas: I. ( ) A integral do seno relaciona-se com o cosseno. É verdadeira (V). A integral de \(\sin(x)\) é \(-\cos(x) + C\). II. ( ) A integral da tangente relaciona-se com a secante. É verdadeira (V). A integral de \(\tan(x)\) é \(-\ln|\cos(x)| + C\) ou \(\ln|\sec(x)| + C\), que envolve a secante. III. ( ) A derivada primeira e a integral do seno são iguais. É falsa (F). A derivada de \(\sin(x)\) é \(\cos(x)\), enquanto a integral de \(\sin(x)\) é \(-\cos(x) + C\). IV. ( ) Ao integrar duas vezes a função seno, obtém-se -sen(x). É falsa (F). A integral de \(\sin(x)\) é \(-\cos(x) + C\) e, ao integrar novamente, obtemos \(-\sin(x) + C\), não \(-\sin(x)\). Portanto, a sequência correta é: V, V, F, F. A alternativa que representa essa sequência é a 3: Correta: V, V, F, V.

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Calcular a integral de uma função significa calcular a área entre sua curva e o eixo x, de forma a atribuir valores positivos onde a função é positiva e negativos caso contrário. Entretanto, não podemos tomar toda função como integrável em um intervalo [a,b], pois, antes de calcular a integral definida, precisamos analisar a continuidade da função. Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre integrais indefinidas de funções circulares, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
I. A integral definida de f(x)=cos(x)/(sen²(x)) no intervalo [n/3, n/2] é igual a 1. Porque:
II. A integral dessa função nesse intervalo pode ser calculada por substituição de sen(x) por outra variável ou então reescrevendo a função como f(x)=(1/sen(x))(cos(x)/sen(x))=cossec(x)cotg(x), cuja primitiva pode ser consultada em uma tabela de integração, sendo F(x)=-cossec(x)+C. Então, basta calcular F(n/2)-F(n/3).
A seguir, assinale a alternativa correta.
1. As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
2. As asserções I e II são proposições falsas.
3. Incorreta: As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é é uma justificativa correta da I.
4. A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira. Resposta correta
5. A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.

O Teorema Fundamental do Cálculo permite o cálculo de integrais definidas dado um intervalo de integração. Não somente por isso, esse Teorema é muito importante por um outro fator.
Considerando essas informações, pode-se afirmar que Teorema Fundamental do Cálculo é relevante para o Cálculo, também porque:
1. ele é o único teorema que envolve integrais.
2. Correta: ele realiza a conexão do Cálculo Integral com o Cálculo diferencial. Resposta correta
3. ele torna dispensável a utilização das derivadas.
4. ele permite o cálculo de integrais definidas.
5. ele refuta a integral de Riemann.

Dessa forma, considerando as funções f(x)=e^x e g(x)=ln(x) e também seus conhecimentos sobre as derivadas e integrais desses tipos de funções, é correto afirmar que:
1. Correta: No intervalo 0

Considerando isso e seus conhecimentos sobre regras de integração definida, analise as afirmativas a seguir.
I. A integral de uma constante no intervalo [a,b] é igual a c(a-b).
II. A integral definida no intervalo [a,b] do produto de duas funções é igual ao produto das integrais dessas funções nesse intervalo.
III. A integral definida no intervalo [a,b] da soma de duas funções é igual à soma das integrais dessas funções nesse intervalo.
IV. Se f(x)>0 em um intervalo [a,b], então sua integral nesse intervalo também é maior que zero.

Está correto apenas o que se afirma em:
1. II e III.
2. I e III.
3. II e III.
4. Correta: III e IV. Resposta correta
5. I e IV.

De acordo com as definições e propriedades do cálculo da integral indefinida e definida e com seus conhecimentos sobre funções trigonométricas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) A primitiva de f(x)=sen(x) é F(x)=cos(x)+C.
II. ( ) A integral de uma função sempre é calculável em um intervalo, pois, diferentemente da derivada, é possível calcular uma área que seja um número real para qualquer função, mesmo que seja descontínua no ponto.
III. ( ) A primitiva de g(x)=cos(x) é G(x)=sen(x).
IV. ( ) A integral definida no intervalo [-pi,pi] de h(x)=2cos(x) é igual a 0.

Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
1. F, V, F, V.
2. V, F, F, V. Resposta correta
3. V, V, F, F.
4. Incorreta: F, F, V, F.
5. V, F, F, V.

De acordo essas informações e com seus conhecimentos sobre o significado da derivada como limite e seu uso em problemas da reta tangente e de velocidade instantânea, analise as afirmativas a seguir:
I. A integral de qualquer função exponencial é a própria função.
II. Diferentemente da derivada, a integral não pode ser calculada por meio de limites.
III. A integral de 4e^(2x) é igual a 2e^(2x).
IV. Os gráficos de f(x)=e^x e de g(x)=ln(x) são simétricos em relação à reta y=x.

Está correto apenas o que se afirma em:
1. II e III.
2. Correta: II, III e IV. Resposta correta
3. I, e IV.
4. II e IV.
5. I, II e III.

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