Para resolver essa questão, precisamos analisar a equação diferencial dada e a solução particular \( y = x e^x \). A ideia é verificar qual das opções apresentadas não admite essa solução. A solução particular \( y = x e^x \) implica que precisamos calcular as derivadas \( y' \) e \( y'' \): 1. Primeira derivada: \[ y' = e^x + x e^x = (x + 1)e^x \] 2. Segunda derivada: \[ y'' = (x + 1)e^x + e^x = (x + 2)e^x \] Agora, substituímos \( y \), \( y' \) e \( y'' \) nas equações das alternativas para verificar se a equação é satisfeita. Vamos analisar cada alternativa: A) \( y'' - 3y' + 4y = 2x e^x \) Substituindo: \[ (x + 2)e^x - 3((x + 1)e^x) + 4(x e^x) = 2x e^x \] Simplificando, não é igual a \( 2x e^x \). B) \( y'' - 3y' + 4y = 2x e^x - e^x \) Substituindo: \[ (x + 2)e^x - 3((x + 1)e^x) + 4(x e^x) = 2x e^x - e^x \] Simplificando, não é igual a \( 2x e^x - e^x \). C) \( y'' - 6y' + 4y = x e^x - e^{2x} \) Substituindo: \[ (x + 2)e^x - 6((x + 1)e^x) + 4(x e^x) = x e^x - e^{2x} \] Simplificando, não é igual a \( x e^x - e^{2x} \). D) \( y'' - 6y + 16y = e^{2x} \) Substituindo: \[ (x + 2)e^x - 6(x e^x) + 16(x e^x) = e^{2x} \] Simplificando, não é igual a \( e^{2x} \). E) \( y'' - 3y' = 2x e^x - e^x \) Substituindo: \[ (x + 2)e^x - 3((x + 1)e^x) = 2x e^x - e^x \] Simplificando, não é igual a \( 2x e^x - e^x \). Após a análise, a alternativa que não admite a solução \( y = x e^x \) é a C) \( y'' - 6y' + 4y = x e^x - e^{2x} \).