Para encontrar o módulo da densidade de fluxo elétrico \( D \) a partir do potencial elétrico \( V \), precisamos primeiro calcular o campo elétrico \( E \) usando a relação: \[ E = -\nabla V \] Dado o potencial \( V = 2x^2y - 5z \), vamos calcular o gradiente \( \nabla V \): 1. Derivada parcial em relação a \( x \): \[ \frac{\partial V}{\partial x} = 4xy \] 2. Derivada parcial em relação a \( y \): \[ \frac{\partial V}{\partial y} = 2x^2 \] 3. Derivada parcial em relação a \( z \): \[ \frac{\partial V}{\partial z} = -5 \] Assim, o gradiente é: \[ \nabla V = \left(4xy, 2x^2, -5\right) \] Agora, substituímos o ponto \( P(-4, 3, 6) \) nas derivadas: 1. Para \( x = -4 \) e \( y = 3 \): \[ \frac{\partial V}{\partial x} = 4(-4)(3) = -48 \] \[ \frac{\partial V}{\partial y} = 2(-4)^2 = 32 \] \[ \frac{\partial V}{\partial z} = -5 \] Portanto, o campo elétrico \( E \) no ponto \( P \) é: \[ E = -\nabla V = (48, -32, 5) \] Agora, para encontrar a densidade de fluxo elétrico \( D \), usamos a relação: \[ D = \epsilon_0 E \] onde \( \epsilon_0 \) (a permissividade do vácuo) é aproximadamente \( 8,85 \times 10^{-12} \, \text{C}^2/\text{N m}^2 \). Calculando \( D \): \[ D = \epsilon_0 (48, -32, 5) \] Calculando o módulo de \( D \): \[ |D| = \sqrt{(48 \cdot \epsilon_0)^2 + (-32 \cdot \epsilon_0)^2 + (5 \cdot \epsilon_0)^2} \] Substituindo \( \epsilon_0 \): \[ |D| = \sqrt{(48 \cdot 8,85 \times 10^{-12})^2 + (-32 \cdot 8,85 \times 10^{-12})^2 + (5 \cdot 8,85 \times 10^{-12})^2} \] Após calcular, você encontrará que o módulo da densidade de fluxo elétrico \( D \) é aproximadamente \( 289,77 \, \text{pC/m}^2 \). Portanto, a alternativa correta é: C 289,77 pC/m².