Para entender o que significa um subconjunto \(\mathbb{A} \subset \mathbb{N}\) ser fechado para sucessores, precisamos considerar a definição de sucessor em relação aos números naturais. O sucessor de um número \(x\) em \(\mathbb{N}\) é \(s(x) = x + 1\). Agora, vamos analisar as alternativas: A) Significa que \(\mathbb{A}\) contém o sucessor de cada um de seus elementos. - Esta é a definição correta de um conjunto ser fechado para sucessores. Se \(x \in \mathbb{A}\), então \(s(x) \in \mathbb{A}\). B) Significa que \(\mathbb{A}\) não pode conter sucessores. - Isso é incorreto, pois um conjunto fechado para sucessores deve conter os sucessores. C) Significa que \(\mathbb{A}\) é necessariamente igual à \(\mathbb{N}\). - Isso não é verdade, pois um subconjunto pode ser fechado para sucessores sem ser igual a \(\mathbb{N}\). D) Significa que \(\mathbb{A}\) não pode ser igual à \(\mathbb{N}\). - Isso também não é verdade, pois \(\mathbb{A}\) pode ser igual a \(\mathbb{N}\) e ainda ser fechado para sucessores. E) Significa que se \(x \in \mathbb{A}\), então \(s(x) \notin \mathbb{A}\). - Isso é o oposto do que significa ser fechado para sucessores. Portanto, a alternativa correta é: A) Significa que \(\mathbb{A}\) contém o sucessor de cada um de seus elementos.