Grátis: Seja $X=\{1,2,3,4\}$, considere a relação de equivalência $\mathcal{R}$ definida $\mathcal{R}=$ $\{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),... – Questões Respondidas

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Seja $X=\{1,2,3,4\}$, considere a relação de equivalência $\mathcal{R}$ definida $\mathcal{R}=$ $\{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,4)\}$. Qual é o quociente $X / \mathcal{R}$ ?
A) $X / \mathcal{R}=\phi$.
B) $X / \mathcal{R}=\\{\{1,3\},\\{4\}\}$
C) $X / \mathcal{R}=\\{\{1,2\},\\{4\}\}$
D) $X / \mathcal{R}=\\{\{1,2,\},\\{34\}\}$
E) $X / \mathcal{R}=\\{\{1,2,3\},\\{4\}\}$

CuriosidadesGerais

há 4 meses

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há 4 meses

Prova Presencial de Matemática

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UNICSUL

Respostas

Ed

há 4 meses

Para determinar o quociente \( X / \mathcal{R} \), precisamos identificar as classes de equivalência geradas pela relação \( \mathcal{R} \). A relação \( \mathcal{R} \) inclui os pares: - \( (1,1), (1,2), (1,3) \) - \( (2,1), (2,2), (2,3) \) - \( (3,1), (3,2), (3,3) \) - \( (4,4) \) Isso significa que os elementos 1, 2 e 3 estão todos relacionados entre si, formando uma única classe de equivalência. O elemento 4, por outro lado, não está relacionado a nenhum dos outros elementos, formando sua própria classe de equivalência. Assim, as classes de equivalência são: - \( \{1, 2, 3\} \) - \( \{4\} \) Portanto, o quociente \( X / \mathcal{R} \) é: \[ X / \mathcal{R} = \{\{1, 2, 3\}, \{4\}\} \] A alternativa correta é: E) \( X / \mathcal{R} = \{\{1, 2, 3\}, \{4\}\} \)

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Qual o significado de um subconjunto $\mathbb{A} \subset \mathbb{N}$ ser fechado para sucessores?
A) Significa que $\mathbb{A}$ contém o sucessor de cada um de seus elementos.
B) Significa que $\mathbb{A}$ não pode conter sucessores.
C) Significa que $\mathbb{A}$ é necessariamente igual à $\mathbb{N}$.
D) Significa que $\mathbb{A}$ não pode ser igual à $\mathbb{N}$.
E) Significa que se $x \in \mathbb{A}$, então $s(x) \notin \mathbb{A}$.

Considere a relação de equivalência $x \mathcal{R} y \Leftrightarrow \exists k \in \mathbb{N}$ tal que $x+y=2 k$, definida em $\mathbb{Z}$. Qual é o conjunto quociente $X / \mathcal{R}$ ?
A) $X / \mathcal{R}=\mathbb{Z}$
B) $X / \mathcal{R}=\\{[0],\{1\}\}$
C) $X / \mathcal{R}=\\{[0]\}$
D) $X / \mathcal{R}=\phi$.
E) $X / \mathcal{R}=\\{\{1\}\}$

Um primo de Fermat é um número primo da forma $2^{n}+1$. Sobre os primos de Fermat, é correto afirmar que:
A) só existem dois primos de Fermat: 3 e 5 .
B) são exemplos de primos de Fermat 3,5 e 12 .
C) não existe um número primo da forma $2 n+1$.
D) são exemplos de primos de Fermat 3,5 e 17 .
E) o único primo de Fermat é o 3 .

Como o conjunto dos números naturais se relaciona com o conjunto dos números inteiros?
A) O conjunto dos números inteiros tem mais elementos que o conjunto dos naturais.
B) O conjunto dos números naturais está contido no conjunto dos números inteiros.
C) O conjunto dos números naturais está em bijeção com o subconjunto dos inteiros não negativos de $\mathbb{Z}$.
D) O conjunto dos números inteiros tem o mesmo número de elementos que o conjunto dos números naturais.
E ) Não há nenhuma relação entre o conjunto dos números naturais e o conjunto dos números inteiros.

Julgue a seguinte assertiva: se uma função $f: X \rightarrow X$ é tal que $f=f=d_{X}$, então $f$ é injetora.
A) A assertiva é verdadeira apenas se $f=\mathrm{id}_{X}$.
B) A assertiva é verdadeira.
C) A assertiva é verdadeira se f for sobrejetora.
D) A assertiva é falsa.
E) A assertiva é verdadeira apenas se f é bijetora.

Julgue a assertiva: se $x, y, z \in \mathbb{N}$ são tais que $x \leq y$, então $x+z \leq y+z$ como verdadeira ou falsa.
A) Verdadeira, conforme pode ser demonstrado pelo princípio da indução finita.
B) Falsa, pois $x=2, y=3$ e $z=1$ é um contraexemplo.
C) Verdadeira, somente quando $z \neq 0$.
D) Verdadeira, pois $2 \leq 3$ e $2+4 \leq 3+4$.
E) Falsa, basta aplicar o princípio de indução finita ao conjunto $\mathbb{A}=\left\{z \in \mathbb{N} \mid \forall x, y \in \mathbb{N}, x+z \leq y+ z\right\}$.

Julgue a seguinte afirmativa: não existe uma função bijetora $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{N}$.
a) A afirmativa é verdadeira, pois só pode existir uma função bijetora entre dois conjuntos finitos.
b) A afirmativa é falsa. Por exemplo, $f(x)=2 n$ se $n \geq 0$ e $f(x)=-1-2 n$ se $n<0$ é uma bijeção.
c) A afirmativa é verdadeira, pois sempre que o domínio de uma função possui infinitos elementos ela não será injetora.
d) A afirmativa é falsa, pois $\mathbb{Z}$ contém mais elementos que $\mathbb{N}$.
e) A afirmativa é falsa, pois não pode existir uma bijeção entre dois conjuntos infinitos.

Qual é mínimo múltiplo comum entre 24 e 32 ?
a) 32.
b) Não existe.
c) 24.
d) É igual ao mdc $(24,32)$.
e) 96.

A função $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z}$ definida por $f(x)=\left[ \\\{x, 0\\\}\right]$ é sobrejetiva?
A) Não, pois há um contraexemplo para a afirmação.
B) Não, pois $\left[(2,0)\right]$ não pertence a imagem de $f$.
C) Sim, pois f é injetiva.
D) Sim, pois a imagem de fé igual a $\mathbb{Z}$.
E) Sim, pois f é bijetora.