Para resolver essa questão, vamos analisar as duas partes separadamente. ### a) O número de maneiras de colorir o logotipo Temos 6 cores disponíveis: Azul, Laranja, Verde, Branco, Gelo e Preto. Como cada círculo deve ser pintado de uma cor diferente e temos 3 círculos, precisamos escolher 3 cores dentre as 6 disponíveis e depois permutá-las. 1. Escolha das cores: O número de maneiras de escolher 3 cores entre 6 é dado pela combinação \( C(6, 3) \): \[ C(6, 3) = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20 \] 2. Permutação das cores escolhidas: Para cada escolha de 3 cores, podemos organizá-las de \( 3! \) maneiras: \[ 3! = 6 \] 3. Total de maneiras: Multiplicamos o número de combinações pelo número de permutações: \[ 20 \times 6 = 120 \] Portanto, o número total de maneiras de colorir o logotipo é 120. ### b) Se Laranja obrigatoriamente deve ser uma das cores, quantas maneiras possíveis de colorir o logotipo? Agora, vamos considerar que a cor Laranja deve ser uma das cores escolhidas. Assim, precisamos escolher 2 cores adicionais entre as 5 restantes (Azul, Verde, Branco, Gelo e Preto). 1. Escolha das cores: O número de maneiras de escolher 2 cores entre as 5 restantes é dado por \( C(5, 2) \): \[ C(5, 2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \] 2. Permutação das cores escolhidas: Para cada escolha de 2 cores, temos 3 cores (incluindo Laranja) que podem ser organizadas de \( 3! \) maneiras: \[ 3! = 6 \] 3. Total de maneiras: Multiplicamos o número de combinações pelo número de permutações: \[ 10 \times 6 = 60 \] Portanto, se Laranja obrigatoriamente deve ser uma das cores, o número total de maneiras possíveis de colorir o logotipo é 60.