Para encontrar o volume gerado pela rotação da área entre o eixo \(x\) e a curva \(y = 2x^2 - x^4\) em torno do eixo \(x\), utilizamos o método dos discos. O volume \(V\) é dado pela fórmula: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] onde \(f(x) = 2x^2 - x^4\). Primeiro, precisamos encontrar os limites de integração \(a\) e \(b\), que são os pontos onde a curva cruza o eixo \(x\) (ou seja, onde \(y = 0\)): \[ 2x^2 - x^4 = 0 \implies x^2(2 - x^2) = 0 \] Isso nos dá \(x = 0\) e \(x = \sqrt{2}\) como limites de integração. Agora, calculamos o volume: \[ V = \pi \int_{0}^{\sqrt{2}} (2x^2 - x^4)^2 \, dx \] Expandindo a função: \[ (2x^2 - x^4)^2 = 4x^4 - 4x^6 + x^8 \] Portanto, o volume se torna: \[ V = \pi \int_{0}^{\sqrt{2}} (4x^4 - 4x^6 + x^8) \, dx \] Calculando a integral: \[ V = \pi \left[ \frac{4}{5}x^5 - \frac{4}{7}x^7 + \frac{1}{9}x^9 \right]_{0}^{\sqrt{2}} \] Substituindo \(x = \sqrt{2}\): \[ V = \pi \left( \frac{4}{5}(\sqrt{2})^5 - \frac{4}{7}(\sqrt{2})^7 + \frac{1}{9}(\sqrt{2})^9 \right) \] Calculando cada termo: \[ (\sqrt{2})^5 = 4\sqrt{2}, \quad (\sqrt{2})^7 = 8\sqrt{2}, \quad (\sqrt{2})^9 = 16\sqrt{2} \] Substituindo: \[ V = \pi \left( \frac{4}{5}(4\sqrt{2}) - \frac{4}{7}(8\sqrt{2}) + \frac{1}{9}(16\sqrt{2}) \right) \] Simplificando: \[ V = \pi \sqrt{2} \left( \frac{16}{5} - \frac{32}{7} + \frac{16}{9} \right) \] Agora, precisamos calcular a soma e simplificar. Após fazer os cálculos, você encontrará que o volume gerado é: \[ V = \frac{128}{315} \pi \] Portanto, a resposta correta é: \(\frac{128}{315} \pi\)