determine a equeçã da reta que passa pelo ponto de intersecção das retas r:3x+5y=0 e s: 2x+y+7=0 e que é paralela á reta t: y=-3x+1

Para determinar a equação da reta que passa pelo ponto de interseção das retas \( r: 3x + 5y = 0 \) e \( s: 2x + y + 7 = 0 \) e que é paralela à reta \( t: y = -3x + 1 \), siga os passos abaixo: 1. Encontrar o ponto de interseção das retas \( r \) e \( s \): - Da equação \( r: 3x + 5y = 0 \), podemos expressar \( y \) em função de \( x \): \[ 5y = -3x \implies y = -\frac{3}{5}x \] - Substituindo \( y \) na equação \( s: 2x + y + 7 = 0 \): \[ 2x - \frac{3}{5}x + 7 = 0 \] Multiplicando toda a equação por 5 para eliminar a fração: \[ 10x - 3x + 35 = 0 \implies 7x + 35 = 0 \implies 7x = -35 \implies x = -5 \] - Agora, substituindo \( x = -5 \) na equação de \( r \) para encontrar \( y \): \[ 3(-5) + 5y = 0 \implies -15 + 5y = 0 \implies 5y = 15 \implies y = 3 \] - O ponto de interseção é \( (-5, 3) \). 2. Encontrar a equação da reta paralela a \( t \): - A reta \( t \) tem a forma \( y = -3x + 1 \), então a inclinação (coeficiente angular) é \( -3 \). - Usando a forma ponto-inclinação da equação da reta, que é \( y - y_0 = m(x - x_0) \), onde \( (x_0, y_0) \) é o ponto de interseção \( (-5, 3) \) e \( m = -3 \): \[ y - 3 = -3(x + 5) \] - Simplificando: \[ y - 3 = -3x - 15 \implies y = -3x - 12 \] Portanto, a equação da reta que passa pelo ponto de interseção e é paralela à reta \( t \) é: \[ y = -3x - 12 \]