Para calcular o volume do reservatório parabólico definido pela função \( f(x,y) = 4 - x^2 - y^2 \) sobre a região circular \( R \) no plano \( xy \), podemos usar coordenadas polares. 1. Definindo as coordenadas polares: - \( x = r \cos(\theta) \) - \( y = r \sin(\theta) \) - O elemento de área em coordenadas polares é \( dA = r \, dr \, d\theta \). 2. Limites de integração: - O raio do círculo é 2, então \( r \) varia de 0 a 2. - \( \theta \) varia de 0 a \( 2\pi \). 3. Substituindo na função: - A função em coordenadas polares fica: \[ f(r, \theta) = 4 - r^2 \] 4. Volume V: - O volume \( V \) é dado pela integral dupla: \[ V = \int_0^{2\pi} \int_0^2 (4 - r^2) r \, dr \, d\theta \] 5. Calculando a integral: - Primeiro, resolvemos a integral interna: \[ \int_0^2 (4r - r^3) \, dr \] - Calculando: \[ = \left[ 2r^2 - \frac{r^4}{4} \right]_0^2 = \left[ 2(2^2) - \frac{(2^4)}{4} \right] = \left[ 8 - 4 \right] = 4 \] 6. Integral externa: - Agora, integramos em relação a \( \theta \): \[ V = \int_0^{2\pi} 4 \, d\theta = 4 \cdot (2\pi) = 8\pi \] Portanto, o volume total do reservatório é \( V = 8\pi \) metros cúbicos.