Para calcular a integral de linha do campo vetorial \( F(x, y) = (x^2, xy) \) ao longo da curva \( C \), que é o segmento de reta de \( (0, 0) \) até \( (1, 1) \), precisamos seguir os seguintes passos: 1. Parametrização da curva: A curva \( C \) pode ser parametrizada por \( r(t) = (t, t) \) onde \( t \) varia de \( 0 \) a \( 1 \). 2. Cálculo do vetor diferencial: O vetor diferencial \( dr \) é dado por \( dr = (dx, dy) = (dt, dt) \). 3. Substituição na integral: Agora, substituímos \( x \) e \( y \) na função \( F \): \[ F(r(t)) = F(t, t) = (t^2, t \cdot t) = (t^2, t^2). \] 4. Cálculo do produto escalar: O produto escalar \( F \cdot dr \) é: \[ F \cdot dr = (t^2, t^2) \cdot (dt, dt) = t^2 dt + t^2 dt = 2t^2 dt. \] 5. Integral de linha: Agora, integramos ao longo do intervalo de \( t \) de \( 0 \) a \( 1 \): \[ \int_C F \cdot dr = \int_0^1 2t^2 dt. \] 6. Cálculo da integral: \[ \int_0^1 2t^2 dt = 2 \left[ \frac{t^3}{3} \right]_0^1 = 2 \cdot \frac{1^3}{3} - 2 \cdot \frac{0^3}{3} = \frac{2}{3}. \] Portanto, o resultado da integral de linha é \( \frac{2}{3} \). A alternativa correta é: d) 2/3.