Para determinar se a função \( f: \mathbb{N} \to \mathbb{Z} \) definida por \( f(x) = (x, 0) \) é sobrejetiva, precisamos entender o que isso significa. Uma função é sobrejetiva se sua imagem cobre todo o contradomínio. Neste caso, a função \( f \) mapeia números naturais \( \mathbb{N} \) para pares ordenados \( (x, 0) \) no conjunto dos números inteiros \( \mathbb{Z} \). Isso significa que a imagem de \( f \) é o conjunto de todos os pares da forma \( (x, 0) \), onde \( x \) é um número natural. Portanto, a imagem de \( f \) é um subconjunto de \( \mathbb{Z} \) que inclui apenas os pares em que a segunda coordenada é sempre 0. Agora, analisando as alternativas: a) Não, pois \([(2, 0)]\) não pertence à imagem de \( f \). - Esta afirmação é falsa, pois \((2, 0)\) pertence à imagem de \( f \). b) Sim, pois a imagem de \( f \) é igual a \( \mathbb{Z} \). - Esta afirmação é falsa, pois a imagem de \( f \) não cobre todos os inteiros, apenas os pares da forma \((x, 0)\). c) Não, pois há um contraexemplo para a afirmação. - Esta afirmação é verdadeira, pois a função não cobre todos os elementos de \( \mathbb{Z} \). d) Sim, pois \( f \) é bijetora. - Esta afirmação é falsa, pois a função não é bijetora. e) Sim, pois \( f \) é injetiva. - Esta afirmação é verdadeira, mas não responde à questão sobre ser sobrejetiva. Portanto, a alternativa correta é: c) Não, pois há um contraexemplo para a afirmação.