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Geometria Analítica

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No estudo das transformações lineares, o conceito de imagem da transformação linear é o conjunto de todos os vetores do contradomínio que são imagens de pelo menos um vetor o espaço vetorial de saída.
A respeito da base para a imagem da transformação T(x,y) = (x+y, x), analise as opções a seguir:
I- [(1,1),(1,0)].
II- [(1,1),(0,1)].
III- [(0,1),(1,0)].
IV- [(1,1)].
A Somente a opção III está correta.
B Somente a opção II está correta.
C Somente a opção IV está correta.
D Somente a opção I está correta.
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Questões para o Sucesso

há 7 meses

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há 7 meses

Avaliação II - Individual Semipresencial - Geometria Analítica e Álgebra Vetorial (EMC02)
4 pág.

Avaliação II - Individual Semipresencial - Geometria Analítica e Álgebra Vetorial (EMC02)

UNIASSELVI

Respostas

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há 7 meses

Vamos analisar a transformação linear \( T(x,y) = (x+y, x) \) e determinar a base da imagem. 1. Identificando a imagem da transformação: - Para \( T(x,y) = (x+y, x) \), podemos expressar a imagem em termos de \( x \) e \( y \): - Se \( x = 1 \) e \( y = 0 \), temos \( T(1,0) = (1, 1) \). - Se \( x = 0 \) e \( y = 1 \), temos \( T(0,1) = (1, 0) \). - Portanto, a imagem da transformação é gerada pelos vetores \( (1,1) \) e \( (1,0) \). 2. Analisando as opções: - I- [(1,1),(1,0)]: Correto, pois esses vetores geram a imagem da transformação. - II- [(1,1),(0,1)]: Incorreto, pois \( (0,1) \) não é um vetor da imagem. - III- [(0,1),(1,0)]: Incorreto, pois \( (0,1) \) não é um vetor da imagem. - IV- [(1,1)]: Correto, mas não é uma base completa, apenas um vetor da imagem. 3. Conclusão: - A única opção que contém todos os vetores que geram a imagem é a opção I. Portanto, a alternativa correta é: D Somente a opção I está correta.

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Avaliação II - Individual Semipresencial - Geometria Analítica e Álgebra Vetorial (EMC02)
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Com relação às transformações lineares, é importante determinar corretamente conceitos de núcleo, imagem, juntamente a suas respectivas dimensões para um entendimento teórico do problema encontrado. Baseado nisto, considere T, um operador linear de R³ em R³:
Assinale a alternativa CORRETA que melhor apresenta a dimensão da Imagem deste operador:
a) 3.
b) 2.
c) 1.
d) 0.

Os problemas ligados ao conceito de autovalores, vistos em Álgebra Linear, permeiam muito mais do que estamos acostumados a verificar. Não são apenas as raízes do polinômio característico de uma transformação linear, mas sim o problema clássico de autovalores, que é absolutamente essencial para a compreensão e a análise de estruturas simples, tais como treliças, vigas, pórticos, placas etc., como também de sistemas estruturais mais complexos, dentre os quais podem ser citados os seguintes: pontes rodoviárias e ferroviárias, torres de aço de telecomunicações e de transmissão de energia, estádios de futebol, passarelas de pedestres, edificações residenciais, edifícios altos, plataformas off-shore etc. Sobre a soma dos autovalores da transformação apresentada a seguir, classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas e, em seguida, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
a) F - F - V - F.
b) F - V - F - F.
c) V - V - F - V.
d) V - F - F - F.

Quando trabalhamos em geometria, analisar o comportamento de duas retas ou ainda como estas retas estão situadas no espaço é uma simples tarefa, pois basta fazer uma simples visualização. No entanto, quando falamos de retas na geometria analítica ou de vetores representados por coordenadas, determinar a posição dessas retas não é uma tarefa tão simples.
Sobre o ângulo formado pelos pares de vetores apresentados, com relação aos ângulos agudos, analise as opções a seguir:
I- u = (2, -3, -2) e v = (1, 2, -2).
II- u = (4, -2, 3) e v = (0, 2, 1).
III- u = (-2, -1, 2) e v = (2, 1, 3).
IV- u = (0, 2, -1) e v = (-3, -2, -4).
V- u = (-2, 2, 0) e v = (-1, 1, -3).
a) Somente a opção II está correta.
b) As opções I, III e IV estão corretas.
c) As opções III e V estão corretas.
d) As opções I e IV estão corretas.

Em geometria, paralelismo é uma noção que indica se dois objetos (retas ou planos) estão na mesma direção. Ao trabalhar com a noção de espaço vetorial, duas retas são paralelas se existe um plano que as contém, e se essas retas não se tocam. Assim, elas estão na mesma direção mesmo que estejam em sentidos opostos.
Sobre o exposto, analise as sentenças a seguir:
I- Os vetores (2,-1,4) e (6,-3,12) são paralelos.
II- Os vetores (1,-2,4) e (2,-2,5) são paralelos.
III- Os vetores (3,1,2) e (6,-2,1) são paralelos.
IV- Os vetores (1,-1,2) e (2,-2,4) são paralelos.
a) Somente a sentença I está correta.
b) As sentenças I e III estão corretas.
c) As sentenças II e III estão corretas.
d) As sentenças I e IV estão corretas.

Imagine que você queira empurrar um objeto. A força que você aplica sobre ele precisa estar na direção e sentido em que você pretende movimentá-lo ou não chegará ao resultado desejado: se desejar que o objeto vá para frente, logicamente não adiantará empurrá-lo para baixo. Isso porque a força é um exemplo de grandeza vetorial. Para descrevê-la, é preciso que se diga também o sentido e a direção em que ela é aplicada.
Com relação ao vetor resultado (R) da operação -2u + 3v, sendo u = (-1,2,0) e v = (-1,-2,3), analise as opções a seguir:
I- R = (1,10,9).
II- R = (-1,-10,9).
III- R = (-5,2,9).
IV- R = (5,-2,9).
a) Somente a opção I está correta.
b) Somente a opção II está correta.
c) Somente a opção IV está correta.
d) Somente a opção III está correta.

Em muitas aplicações não é interessante trabalhar com um espaço vetorial 'inteiro', mas com uma parte deste espaço, ou seja, um subespaço, que seja constituído pelas combinações lineares de um dado conjunto de vetores. Será, então, conveniente escrever os elementos desse subespaço como combinações lineares de um conjunto que contenha o menor número possível de vetores e que estes sejam escritos de forma simplificada.
Neste aspecto, podemos representar estes subespaços através de bases. Sobre os conjuntos que podem ser bases de R², classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas:
( ) {(2,3),(-1,4)}.
( ) {(2,3),(-6,-9)}.
( ) {(1,5),(3,11)}.
( ) {(0,2),(0,0)}.
a) F - V - F - V.
b) F - F - F - V.
c) V - V - F - F.
d) V - F - V - F.

No estudo da Álgebra Linear e Vetorial surge o conceito de autovalores e autovetores. Teoricamente, um autovetor de uma transformação é um vetor que quando aplicado na transformação, resulta um múltiplo de si próprio, sendo que a este fator multiplicativo, damos o nome de autovalor. Estes conceitos possuem diversas aplicações práticas, principalmente na Engenharia.
Baseado nisso, dada a transformação T(x,y) = (2x, y) analise as sentenças a seguir:
I- v = (1,0) é um autovalor de T, com autovalor igual a 2.
II- v = (0,1) é um autovalor de T, com autovalor igual a 2.
III- T possui um autovalor de multiplicidade algébrica 1.
IV- T possui dois autovalores de multiplicidade algébrica 1.
a) As opções II e III estão corretas.
b) As opções I e III estão corretas.
c) As opções I e IV estão corretas.
d) As opções II e IV estão corretas.

A noção comum de vetores como objetos com tamanho, direção e sentido, com as operações de adição e multiplicação por números reais forma a ideia básica de um espaço vetorial. Deste ponto de partida então, para definirmos um espaço vetorial, precisamos de um conjunto, uma operação de adição de elementos deste conjunto, e uma operação de multiplicação de escalares (por exemplo, números reais) por elementos deste conjunto.
A respeito das propriedades dos espaços vetoriais, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
( ) Os espaços vetoriais preservam as operações de soma e multiplicação por escalar.
( ) Os espaços vetoriais de podem ser imaginados como domínio de contradomínio de operações lineares.
( ) A base de um espaço é um conjunto LI que gera todos os elementos de um espaço.
( ) A base de um espaço é um conjunto LD que gera todos os elementos de um espaço.
a) V - V - F - F.
b) V - V - V - F.
c) F - V - V - F.
d) V - F - V - F.

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