Para calcular a integral de \( x - \cos(x) \) no intervalo de 0 a 1 usando o método de Romberg até \( n = 2 \), você deve seguir os passos do método, que envolve a aplicação de aproximações trapezoidais e a extrapolação de Richardson. 1. Cálculo da integral usando a regra do trapézio: - Para \( n = 1 \): \[ T_1 = \frac{1}{2} \left[ f(0) + f(1) \right] = \frac{1}{2} \left[ 0 - 1 + 1 - \cos(1) \right] = \frac{1 - \cos(1)}{2} \] - Para \( n = 2 \): \[ T_2 = \frac{1}{4} \left[ f(0) + 2f(0.5) + f(1) \right] \] Onde \( f(0.5) = 0.5 - \cos(0.5) \). 2. Extrapolação de Richardson: - Usar os valores de \( T_1 \) e \( T_2 \) para calcular a integral com maior precisão. Após realizar os cálculos, você encontrará que o valor da integral se aproxima de uma das alternativas fornecidas. O valor correto da integral de \( x - \cos(x) \) no intervalo de 0 a 1, utilizando o método de Romberg até \( n = 2 \), é aproximadamente -0,34147. Portanto, a alternativa correta é: -0,34147.