Descreva como comprovar que a progressão geométrica, ao ter uma razão menor do que 1, converge para a série geométrica.

Para comprovar que uma progressão geométrica (PG) com razão \( r \) menor que 1 converge para a série geométrica, siga os passos abaixo: 1. Definição da PG: Uma PG é definida como \( a, ar, ar^2, ar^3, \ldots \), onde \( a \) é o primeiro termo e \( r \) é a razão. 2. Soma da PG: A soma dos primeiros \( n \) termos de uma PG é dada pela fórmula: \[ S_n = a \frac{1 - r^n}{1 - r} \] 3. Limite quando \( n \) tende ao infinito: Para \( |r| < 1 \), \( r^n \) tende a 0 quando \( n \) aumenta. Portanto, podemos calcular o limite da soma: \[ \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} a \frac{1 - r^n}{1 - r} = a \frac{1 - 0}{1 - r} = \frac{a}{1 - r} \] 4. Conclusão: Assim, a soma da PG converge para \( \frac{a}{1 - r} \) quando a razão \( r \) é menor que 1. Dessa forma, você pode comprovar que a progressão geométrica com razão menor que 1 converge para a série geométrica.