Para resolver essa questão, precisamos calcular a probabilidade do erro do tipo II (β), que ocorre quando não rejeitamos a hipótese nula H0 quando ela é falsa. Neste caso, estamos testando H0: p = 0,7 contra Ha: p = 0,5. A hipótese alternativa (Ha) é que p = 0,5, e queremos calcular a probabilidade de obter 3 sucessos ou menos em 6 ensaios de Bernoulli, dado que a probabilidade de sucesso é 0,5. A variável aleatória X segue uma distribuição binomial \(X \sim B(n, p)\), onde \(n = 6\) e \(p = 0,5\). A probabilidade de obter k sucessos em n ensaios é dada pela fórmula da distribuição binomial: \[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \] Vamos calcular \(P(X < 4)\), ou seja, \(P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)\): 1. Para k = 0: \[ P(X = 0) = \binom{6}{0} (0,5)^0 (0,5)^6 = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{64} = \frac{1}{64} \] 2. Para k = 1: \[ P(X = 1) = \binom{6}{1} (0,5)^1 (0,5)^5 = 6 \cdot 0,5 \cdot \frac{1}{32} = \frac{6}{64} \] 3. Para k = 2: \[ P(X = 2) = \binom{6}{2} (0,5)^2 (0,5)^4 = 15 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{16} = \frac{15}{64} \] 4. Para k = 3: \[ P(X = 3) = \binom{6}{3} (0,5)^3 (0,5)^3 = 20 \cdot \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{8} = \frac{20}{64} \] Agora, somamos todas essas probabilidades: \[ P(X < 4) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = \frac{1}{64} + \frac{6}{64} + \frac{15}{64} + \frac{20}{64} = \frac{42}{64} = \frac{21}{32} \] No entanto, precisamos da probabilidade do erro do tipo II, que é \(1 - P(X < 4)\): \[ \beta = 1 - P(X < 4) = 1 - \frac{21}{32} = \frac{11}{32} \] Portanto, a probabilidade do erro do tipo II é igual a: Alternativa correta: (D) 11/32.