Para resolver a integral indefinida da função \( f(x) = \frac{1}{1 - 2x^2} \), podemos usar a substituição que leva à forma da função arco seno. A integral que precisamos calcular é: \[ \int f(x) \, dx = \int \frac{1}{1 - 2x^2} \, dx \] Essa integral pode ser resolvida utilizando a substituição \( u = 2x \), o que nos leva a: \[ du = 2 \, dx \quad \Rightarrow \quad dx = \frac{du}{2} \] Substituindo na integral, temos: \[ \int \frac{1}{1 - 2x^2} \, dx = \int \frac{1}{1 - u^2} \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{1 - u^2} \, du \] A integral \( \int \frac{1}{1 - u^2} \, du \) é conhecida e resulta em \( \text{arctanh}(u) \) ou \( \text{arcsin}(u) \) dependendo do contexto. No entanto, para a forma que estamos buscando, a integral se relaciona com a função arco seno. Portanto, a integral se torna: \[ \frac{1}{2} \text{arcsin}(2x) + C \] Agora, analisando as alternativas: a) \( \int f(x) \, dx = \frac{1}{2} \text{arcsin}(2x) + c \) - Correta. b) \( \int f(x) \, dx = \frac{1}{2} \text{arcsin}(x) + c \) - Incorreta. c) \( \int f(x) \, dx = \text{arcsin}(2x) + c \) - Incorreta. d) \( \int f(x) \, dx = \frac{2x}{(1 - 2x^2)^3} + c \) - Incorreta. e) \( \int f(x) \, dx = \text{arcsin}(2x) + c \) - Incorreta. Portanto, a alternativa correta é: a) \( \int f(x) \, dx = \frac{1}{2} \text{arcsin}(2x) + c \).