Para resolver essa questão, precisamos encontrar as dimensões da caixa d'água que minimizam o custo do material, dado que o volume é fixo em 2500 m³. 1. Definindo as variáveis: - Seja \( x \) o lado da base quadrada da caixa. - Seja \( h \) a altura da caixa. 2. Volume da caixa: O volume \( V \) é dado por: \[ V = x^2 \cdot h \] Como o volume é 2500 m³, temos: \[ x^2 \cdot h = 2500 \quad \Rightarrow \quad h = \frac{2500}{x^2} \] 3. Custo do material: - Custo da base: \( C_b = 1200 \cdot x^2 \) - Área lateral (4 lados): \( A_l = 4 \cdot (x \cdot h) = 4x \cdot \frac{2500}{x^2} = \frac{10000}{x} \) - Custo das laterais: \( C_l = 980 \cdot A_l = 980 \cdot \frac{10000}{x} = \frac{9800000}{x} \) O custo total \( C \) é: \[ C = C_b + C_l = 1200x^2 + \frac{9800000}{x} \] 4. Minimizando o custo: Para encontrar o valor de \( x \) que minimiza \( C \), derivamos \( C \) em relação a \( x \) e igualamos a zero: \[ \frac{dC}{dx} = 2400x - \frac{9800000}{x^2} \] Igualando a zero: \[ 2400x = \frac{9800000}{x^2} \quad \Rightarrow \quad 2400x^3 = 9800000 \quad \Rightarrow \quad x^3 = \frac{9800000}{2400} \quad \Rightarrow \quad x^3 \approx 4083,33 \] \[ x \approx 15,98 \text{ metros} \] 5. Calculando a altura: Substituindo \( x \) na equação do volume para encontrar \( h \): \[ h = \frac{2500}{(15,98)^2} \approx 9,78 \text{ metros} \] Portanto, as dimensões da caixa são \( x \approx 15,98 \) metros e \( h \approx 9,78 \) metros. A alternativa correta é: c) x = 15,98 metros e y = 9,78 metros.