Para negar a proposição "Para todo y, existe um x tal que \( \sin(xy) = 0 \)", precisamos aplicar as regras de negação para quantificadores. A proposição original pode ser escrita como: - \( \forall y, \exists x \, (\sin(xy) = 0) \) A negação dessa proposição será: - \( \exists y \, \forall x \, (\sin(xy) \neq 0) \) Isso significa que existe pelo menos um valor de \( y \) tal que, para todo \( x \), a condição \( \sin(xy) \neq 0 \) é verdadeira. Analisando as alternativas: A) Para todo y, existe um x tal que \( \sin(xy) = 0 \). (não é a negação) B) Para todo y e para todo x, \( \sin(xy) = 0 \). (não é a negação) C) Existe um y e existe um x tal que \( \sin(xy) = 0 \). (não é a negação) D) Existe um y tal que, para todo x, \( \sin(xy) = 0 \). (não é a negação) E) Existe um y tal que, para todo x, \( \sin(xy) \neq 0 \). (é a negação correta) Portanto, a alternativa correta é: E) Existe um y tal que, para todo x, \( \sin(xy) \neq 0 \).