Para resolver essa questão, precisamos calcular o número de combinações possíveis de questões que o professor pode escolher de cada área. 1. Geometria Plana: O professor tem 4 questões e precisa escolher 3. O número de combinações é dado por \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \), onde \( n \) é o total de questões e \( k \) é o número de questões a serem escolhidas. \[ C(4, 3) = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3! \cdot 1!} = \frac{4 \cdot 3!}{3! \cdot 1} = 4 \] 2. Geometria Espacial: O professor tem 6 questões e precisa escolher 5. \[ C(6, 5) = \frac{6!}{5!(6-5)!} = \frac{6!}{5! \cdot 1!} = \frac{6 \cdot 5!}{5! \cdot 1} = 6 \] 3. Análise Combinatória: O professor tem 5 questões e precisa escolher 2. \[ C(5, 2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10 \] Agora, para encontrar o número total de provas diferentes que ele pode montar, multiplicamos o número de combinações de cada área: \[ Total = C(4, 3) \times C(6, 5) \times C(5, 2) = 4 \times 6 \times 10 = 240 \] Portanto, o número de provas diferentes que ele pode montar é 240. A alternativa correta é: a) 240.