Se X é um espaço topológico e A é um subconjunto de X, qual das seguintes afirmações é verdadeira sobre a interseção de dois conjuntos abertos U1 e U2 em X?
A) U1 ∩ U2 é sempre um conjunto fechado.
B) U1 ∩ U2 é sempre um conjunto aberto.
C) U1 ∩ U2 é sempre denso.
D) U1 ∩ U2 é sempre vazio.

Question

Se X é um espaço topológico e A é um subconjunto de X, qual das seguintes afirmações é verdadeira sobre a interseção de dois conjuntos abertos U1 e...

Ed · Answer

Para responder à sua pergunta, vamos analisar as opções dadas sobre a interseção de dois conjuntos abertos $ U_1 $ e $ U_2 $ em um espaço topológico $ X $.

A) $ U_1 \cap U_2 $ é sempre um conjunto fechado. - Esta afirmação é falsa, pois a interseção de conjuntos abertos não é necessariamente um conjunto fechado.

B) $ U_1 \cap U_2 $ é sempre um conjunto aberto. - Esta afirmação é verdadeira. A interseção de dois conjuntos abertos em um espaço topológico é sempre um conjunto aberto.

C) $ U_1 \cap U_2 $ é sempre denso. - Esta afirmação é falsa. A interseção pode não ser densa, dependendo dos conjuntos.

D) $ U_1 \cap U_2 $ é sempre vazio. - Esta afirmação é falsa. A interseção pode ser vazia, mas não é uma condição garantida.

Portanto, a alternativa correta é: **B) $ U_1 \cap U_2 $ é sempre um conjunto aberto.**

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Qual das seguintes afirmacoes é verdadeira sobre um espaço topológico X que é localmente compacto?
A) Todo conjunto aberto em X é compacto.
B) Todo conjunto fechado em X é compacto.
C) Todo ponto em X tem uma vizinhança compacta.
D) X é sempre conexo.

Considere um espaço topológico X que é Hausdorff. Qual das seguintes afirmações é verdadeira?
A) Todo conjunto aberto em X é compacto.
B) Todo conjunto fechado em X é denso.
C) Dois pontos distintos em X podem ser separados por conjuntos abertos.
D) X não pode ser compacto.

Qual das seguintes afirmações é verdadeira sobre um espaço topológico X que é compacto?
A) Todo subconjunto de X é denso.
B) Todo conjunto aberto em X é compacto.
C) Todo conjunto fechado em X é compacto.
D) X é sempre conexo.

Considere um espaço topológico X que é conexo. Qual das seguintes afirmações é verdadeira?
A) X pode ser escrito como a união de dois conjuntos abertos disjuntos.
B) X não pode ser escrito como a união de dois conjuntos fechados disjuntos.
C) X é sempre compacto.
D) X é sempre Hausdorff.

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Qual das seguintes afirmacoes é verdadeira sobre um espaço topológico X que é localmente compacto?A) Todo conjunto aberto em X é compacto.B) Todo conjunto fechado em X é compacto.C) Todo ponto em X tem uma vizinhança compacta.D) X é sempre conexo.

Considere um espaço topológico X que é Hausdorff. Qual das seguintes afirmações é verdadeira?A) Todo conjunto aberto em X é compacto.B) Todo conjunto fechado em X é denso.C) Dois pontos distintos em X podem ser separados por conjuntos abertos.D) X não pode ser compacto.

Qual das seguintes afirmações é verdadeira sobre um espaço topológico X que é compacto?A) Todo subconjunto de X é denso.B) Todo conjunto aberto em X é compacto.C) Todo conjunto fechado em X é compacto.D) X é sempre conexo.

Considere um espaço topológico X que é conexo. Qual das seguintes afirmações é verdadeira?A) X pode ser escrito como a união de dois conjuntos abertos disjuntos.B) X não pode ser escrito como a união de dois conjuntos fechados disjuntos.C) X é sempre compacto.D) X é sempre Hausdorff.

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Qual das seguintes afirmacoes é verdadeira sobre um espaço topológico X que é localmente compacto?
A) Todo conjunto aberto em X é compacto.
B) Todo conjunto fechado em X é compacto.
C) Todo ponto em X tem uma vizinhança compacta.
D) X é sempre conexo.

Considere um espaço topológico X que é Hausdorff. Qual das seguintes afirmações é verdadeira?
A) Todo conjunto aberto em X é compacto.
B) Todo conjunto fechado em X é denso.
C) Dois pontos distintos em X podem ser separados por conjuntos abertos.
D) X não pode ser compacto.

Qual das seguintes afirmações é verdadeira sobre um espaço topológico X que é compacto?
A) Todo subconjunto de X é denso.
B) Todo conjunto aberto em X é compacto.
C) Todo conjunto fechado em X é compacto.
D) X é sempre conexo.

Considere um espaço topológico X que é conexo. Qual das seguintes afirmações é verdadeira?
A) X pode ser escrito como a união de dois conjuntos abertos disjuntos.
B) X não pode ser escrito como a união de dois conjuntos fechados disjuntos.
C) X é sempre compacto.
D) X é sempre Hausdorff.