A área compreendida entre as curvas Υ= x2 e Υ= –x2 + 4x é: A) 8/3 B) 6/3 C) 10/3 D) 7/3 E) 5/3

Para encontrar a área compreendida entre as curvas \( y = x^2 \) e \( y = -x^2 + 4x \), precisamos seguir alguns passos: 1. Encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Para isso, igualamos as duas equações: \[ x^2 = -x^2 + 4x \] Isso se simplifica para: \[ 2x^2 - 4x = 0 \] Fatorando, temos: \[ 2x(x - 2) = 0 \] Portanto, os pontos de interseção são \( x = 0 \) e \( x = 2 \). 2. Calcular a área entre as curvas de \( x = 0 \) a \( x = 2 \). A área \( A \) é dada por: \[ A = \int_{0}^{2} \left((-x^2 + 4x) - (x^2)\right) dx \] Simplificando a função dentro da integral: \[ A = \int_{0}^{2} (-2x^2 + 4x) dx \] 3. Calcular a integral: \[ A = \left[-\frac{2}{3}x^3 + 2x^2\right]_{0}^{2} \] Avaliando nos limites: \[ A = \left[-\frac{2}{3}(2)^3 + 2(2)^2\right] - \left[-\frac{2}{3}(0)^3 + 2(0)^2\right] \] \[ A = \left[-\frac{16}{3} + 8\right] - 0 \] \[ A = \left[-\frac{16}{3} + \frac{24}{3}\right] = \frac{8}{3} \] Portanto, a área compreendida entre as curvas é \( \frac{8}{3} \). A alternativa correta é: A) 8/3.