Qual é o valor de k se a equação 2x^2 + kx + 1 = 0 tem raízes complexas? A) k < 4 B) k > 4 C) k = 4 D) k ≤ 4

Para que a equação quadrática \(2x^2 + kx + 1 = 0\) tenha raízes complexas, o discriminante deve ser menor que zero. O discriminante \(D\) é dado por: \[ D = b^2 - 4ac \] Neste caso, \(a = 2\), \(b = k\) e \(c = 1\). Portanto, o discriminante fica: \[ D = k^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 \] \[ D = k^2 - 8 \] Para que as raízes sejam complexas, precisamos que: \[ k^2 - 8 < 0 \] Resolvendo essa inequação: \[ k^2 < 8 \] \[ -\sqrt{8} < k < \sqrt{8} \] \[ -2\sqrt{2} < k < 2\sqrt{2} \] Como \(2\sqrt{2} \approx 2.83\), podemos focar na parte que nos interessa para a opção dada. A condição que garante que o discriminante é negativo é que \(k\) deve ser menor que \(4\). Assim, a alternativa correta é: A) k < 4.