Determine o valor de ∫_0^1 (3x^4 - 4x^3 + 2x^2) dx. a) 0

Para determinar o valor da integral \(\int_0^1 (3x^4 - 4x^3 + 2x^2) \, dx\), vamos calcular passo a passo. 1. Calcular a antiderivada: - A antiderivada de \(3x^4\) é \(\frac{3}{5}x^5\). - A antiderivada de \(-4x^3\) é \(-x^4\). - A antiderivada de \(2x^2\) é \(\frac{2}{3}x^3\). Portanto, a antiderivada completa é: \[ F(x) = \frac{3}{5}x^5 - x^4 + \frac{2}{3}x^3 \] 2. Avaliar a integral definida: Agora, vamos avaliar \(F(x)\) nos limites de 0 a 1: \[ F(1) = \frac{3}{5}(1)^5 - (1)^4 + \frac{2}{3}(1)^3 = \frac{3}{5} - 1 + \frac{2}{3} \] Para somar, precisamos de um denominador comum. O mínimo múltiplo entre 5 e 3 é 15: \[ F(1) = \frac{9}{15} - \frac{15}{15} + \frac{10}{15} = \frac{9 - 15 + 10}{15} = \frac{4}{15} \] Agora, avaliamos em 0: \[ F(0) = 0 \] 3. Resultado da integral: Portanto, a integral é: \[ \int_0^1 (3x^4 - 4x^3 + 2x^2) \, dx = F(1) - F(0) = \frac{4}{15} - 0 = \frac{4}{15} \] Assim, o valor da integral é \(\frac{4}{15}\). Portanto, a resposta correta não é a alternativa a) 0.