Sabe-se que AX = B, onde A = [1 2; -1 1] e B = [-1; -2]. O quadrado da norma de X é: (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4

Para resolver a equação \( AX = B \), onde \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \) e \( B = \begin{bmatrix} -1 \\ -2 \end{bmatrix} \), precisamos encontrar o vetor \( X \). Primeiro, vamos calcular a inversa da matriz \( A \) para resolver a equação. A inversa de uma matriz \( 2 \times 2 \) é dada por: \[ A^{-1} = \frac{1}{det(A)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} \] onde \( A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \). Calculando o determinante de \( A \): \[ det(A) = (1)(1) - (-1)(2) = 1 + 2 = 3 \] Agora, a inversa de \( A \) é: \[ A^{-1} = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{3} & -\frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \end{bmatrix} \] Agora, multiplicamos \( A^{-1} \) por \( B \) para encontrar \( X \): \[ X = A^{-1}B = \begin{bmatrix} \frac{1}{3} & -\frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 \\ -2 \end{bmatrix} \] Calculando: \[ X_1 = \frac{1}{3}(-1) + (-\frac{2}{3})(-2) = -\frac{1}{3} + \frac{4}{3} = \frac{3}{3} = 1 \] \[ X_2 = \frac{1}{3}(-1) + \frac{1}{3}(-2) = -\frac{1}{3} - \frac{2}{3} = -1 \] Portanto, \( X = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} \). Agora, o quadrado da norma de \( X \) é dado por: \[ \|X\|^2 = X_1^2 + X_2^2 = 1^2 + (-1)^2 = 1 + 1 = 2 \] Assim, a resposta correta é (C) 2.