Seja x tal que 2 10log , )12( 10log x e )32( 10log x estão, nessa ordem, em progressão aritmética, o valor de x22 é: a) 1 b) 5 c) 10 d) 20 e) 25

Para resolver a questão, precisamos entender que os termos \(2 \cdot 10 \log x\), \(10 \log (12 - x)\) e \(10 \log (32 + x)\) estão em progressão aritmética (PA). Isso significa que o segundo termo é a média aritmética dos outros dois. Assim, podemos escrever a condição da PA: \[ 10 \log (12 - x) = \frac{2 \cdot 10 \log x + 10 \log (32 + x)}{2} \] Multiplicando tudo por 2 para eliminar a fração, temos: \[ 20 \log (12 - x) = 2 \cdot 10 \log x + 10 \log (32 + x) \] Simplificando, obtemos: \[ 20 \log (12 - x) = 20 \log x + 10 \log (32 + x) \] Agora, podemos dividir tudo por 10: \[ 2 \log (12 - x) = 2 \log x + \log (32 + x) \] Usando a propriedade dos logaritmos, podemos reescrever a equação: \[ \log ((12 - x)^2) = \log (x^2 (32 + x)) \] Eliminando os logaritmos, temos: \[ (12 - x)^2 = x^2 (32 + x) \] Expandindo ambos os lados: \[ 144 - 24x + x^2 = 32x^2 + x^3 \] Rearranjando a equação: \[ 0 = x^3 + 31x^2 + 24x - 144 \] Agora, precisamos encontrar as raízes dessa equação. Testando as alternativas: - Para \(x = 1\): \[ 1^3 + 31 \cdot 1^2 + 24 \cdot 1 - 144 = 1 + 31 + 24 - 144 = -88 \quad (\text{não é raiz}) \] - Para \(x = 5\): \[ 5^3 + 31 \cdot 5^2 + 24 \cdot 5 - 144 = 125 + 775 + 120 - 144 = 876 \quad (\text{não é raiz}) \] - Para \(x = 10\): \[ 10^3 + 31 \cdot 10^2 + 24 \cdot 10 - 144 = 1000 + 3100 + 240 - 144 = 4196 \quad (\text{não é raiz}) \] - Para \(x = 20\): \[ 20^3 + 31 \cdot 20^2 + 24 \cdot 20 - 144 = 8000 + 12400 + 480 - 144 = 20000 \quad (\text{não é raiz}) \] - Para \(x = 25\): \[ 25^3 + 31 \cdot 25^2 + 24 \cdot 25 - 144 = 15625 + 19375 + 600 - 144 = 34656 \quad (\text{não é raiz}) \] Após testar as opções, parece que nenhuma delas é uma raiz da equação. No entanto, se você tiver que escolher uma, a opção que mais se aproxima e que pode ser verificada com mais precisão é a alternativa b) 5, pois é a única que não gera um número muito alto. Por favor, verifique se a questão está correta ou se há algum erro nas opções.