Três números estão em PA. A soma desses números é 15 e o produto é 105. Qual a diferença entre o maior e o menor? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4

Para resolver a questão, vamos considerar que os três números em PA (Progressão Aritmética) podem ser representados como \(a - d\), \(a\) e \(a + d\), onde \(a\) é o termo central e \(d\) é a razão da PA. 1. Soma dos números: \[ (a - d) + a + (a + d) = 3a = 15 \implies a = 5 \] 2. Produto dos números: \[ (a - d) \cdot a \cdot (a + d) = 105 \] Substituindo \(a\): \[ (5 - d) \cdot 5 \cdot (5 + d) = 105 \] Simplificando: \[ 5(5^2 - d^2) = 105 \implies 25 - d^2 = \frac{105}{5} = 21 \implies d^2 = 25 - 21 = 4 \implies d = 2 \text{ ou } d = -2 \] 3. Números: - Se \(d = 2\): os números são \(5 - 2 = 3\), \(5\) e \(5 + 2 = 7\). - Se \(d = -2\): os números são \(5 + 2 = 7\), \(5\) e \(5 - 2 = 3\) (mesmos números). 4. Diferença entre o maior e o menor: \[ 7 - 3 = 4 \] Portanto, a diferença entre o maior e o menor número é 4. A alternativa correta é: d) 4.