Para resolver essa questão, vamos primeiro entender as condições dadas. 1. Progressão Aritmética (PA): Os termos são \(x\), \(y\) e \(y + x\). Para que esses números formem uma PA, a diferença entre o segundo e o primeiro termo deve ser igual à diferença entre o terceiro e o segundo termo: \[ y - x = (y + x) - y \implies y - x = x \implies y = 2x. \] 2. Progressão Geométrica (PG): Os termos são \(x\), \(y\) e \(y \cdot x\). Para que esses números formem uma PG, a razão entre o segundo e o primeiro termo deve ser igual à razão entre o terceiro e o segundo termo: \[ \frac{y}{x} = \frac{y \cdot x}{y} \implies \frac{y}{x} = x \implies y = x^2. \] Agora temos duas expressões para \(y\): - Da PA: \(y = 2x\) - Da PG: \(y = x^2\) Igualando as duas expressões: \[ 2x = x^2 \implies x^2 - 2x = 0 \implies x(x - 2) = 0. \] Como \(x\) é positivo, temos \(x = 2\). Substituindo \(x\) na expressão de \(y\): \[ y = 2x = 2 \cdot 2 = 4. \] Agora, vamos calcular os termos da PA e da PG: - PA: Os termos são \(2\), \(4\) e \(6\) (onde \(6 = 4 + 2\)). O 6º termo da PA é dado por: \[ a_n = a_1 + (n-1) \cdot d \implies a_6 = 2 + (6-1) \cdot 2 = 2 + 10 = 12. \] - PG: Os termos são \(2\), \(4\) e \(8\) (onde \(8 = 2 \cdot 4\)). O 5º termo da PG é dado por: \[ a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)} \implies a_5 = 2 \cdot 2^{(5-1)} = 2 \cdot 16 = 32. \] Portanto, o 6º termo da PA é \(12\) e o 5º termo da PG é \(32\). A alternativa correta é: a) 12 e 32.