Se z = re^(iθ) é uma raiz da equação z^3 + 8 = 0, qual é o valor de r e θ? a) r = 2, θ = π/3 b) r = 2, θ = 5π/3 c) r = 2, θ = 2π/3 d) r = 2, θ = 4π/3

Para resolver a equação \( z^3 + 8 = 0 \), podemos reescrevê-la como \( z^3 = -8 \). Sabemos que \( -8 \) pode ser escrito na forma polar como \( 8e^{i\pi} \) (já que o ângulo correspondente a -8 no plano complexo é \( \pi \)). Agora, precisamos encontrar as raízes cúbicas de \( 8e^{i\pi} \). A magnitude \( r \) da raiz cúbica será: \[ r = \sqrt[3]{8} = 2 \] Para encontrar os ângulos \( \theta \), usamos a fórmula para as raízes de um número complexo: \[ \theta_k = \frac{\pi + 2k\pi}{3}, \quad k = 0, 1, 2 \] Calculando para \( k = 0, 1, 2 \): 1. Para \( k = 0 \): \[ \theta_0 = \frac{\pi}{3} \] 2. Para \( k = 1 \): \[ \theta_1 = \frac{\pi + 2\pi}{3} = \frac{3\pi}{3} = \pi \] 3. Para \( k = 2 \): \[ \theta_2 = \frac{\pi + 4\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} \] Assim, as raízes são: - \( z_0 = 2e^{i\pi/3} \) - \( z_1 = 2e^{i\pi} \) - \( z_2 = 2e^{i5\pi/3} \) Dentre as opções apresentadas, temos: a) \( r = 2, \theta = \frac{\pi}{3} \) b) \( r = 2, \theta = \frac{5\pi}{3} \) c) \( r = 2, \theta = \frac{2\pi}{3} \) d) \( r = 2, \theta = \frac{4\pi}{3} \) As opções corretas são \( a) \) e \( b) \). Portanto, a resposta correta para a pergunta é: a) r = 2, θ = π/3 e b) r = 2, θ = 5π/3.