question-icon Calcule a área representada pela integral definida: A= integral com 1 subscrito com 4 sobrescrito 2 raiz quadrada de x dx

Para calcular a área representada pela integral definida \( A = \int_{1}^{4} 2\sqrt{x} \, dx \), siga os passos abaixo: 1. Calcule a antiderivada de \( 2\sqrt{x} \): \[ 2\sqrt{x} = 2x^{1/2} \] A antiderivada é: \[ \frac{2}{\frac{3}{2}} x^{\frac{3}{2}} = \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} \] 2. Avalie a integral definida de 1 a 4: \[ A = \left[ \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} \right]_{1}^{4} \] 3. Substitua os limites: \[ A = \frac{4}{3} (4^{\frac{3}{2}}) - \frac{4}{3} (1^{\frac{3}{2}}) \] Calculando \( 4^{\frac{3}{2}} \): \[ 4^{\frac{3}{2}} = (2^2)^{\frac{3}{2}} = 2^3 = 8 \] Portanto: \[ A = \frac{4}{3} (8) - \frac{4}{3} (1) = \frac{32}{3} - \frac{4}{3} = \frac{28}{3} \] 4. Resultado final: \[ A = \frac{28}{3} \] Assim, a área representada pela integral definida é \( \frac{28}{3} \).