Questão 3 (8 Pontos): Calcule a integral ∫ (-8x)/(x³ - 3x² - x + 3) dx.

Para calcular a integral \(\int \frac{-8x}{x^3 - 3x^2 - x + 3} \, dx\), podemos usar a técnica de frações parciais. Primeiro, precisamos fatorar o denominador \(x^3 - 3x^2 - x + 3\). 1. Fatoração do denominador: Vamos tentar encontrar as raízes do polinômio. Usando o método de tentativa e erro, encontramos que \(x = 3\) é uma raiz. Assim, podemos fatorar o polinômio como \((x - 3)(x^2 + ax + b)\). 2. Divisão sintética: Usando a divisão sintética, podemos dividir \(x^3 - 3x^2 - x + 3\) por \(x - 3\) e encontrar o polinômio quadrático restante. 3. Fatoração completa: Após a divisão, obtemos \(x^3 - 3x^2 - x + 3 = (x - 3)(x^2 + 0x - 1)\), que pode ser fatorado como \((x - 3)(x - \sqrt{1})(x + \sqrt{1})\). 4. Fração parcial: Agora, podemos escrever a fração como: \[ \frac{-8x}{(x - 3)(x - 1)(x + 1)} = \frac{A}{x - 3} + \frac{B}{x - 1} + \frac{C}{x + 1} \] onde \(A\), \(B\) e \(C\) são constantes a serem determinadas. 5. Multiplicando por \( (x - 3)(x - 1)(x + 1) \) e igualando os coeficientes, encontramos os valores de \(A\), \(B\) e \(C\). 6. Integração: Após encontrar \(A\), \(B\) e \(C\), integramos cada termo separadamente: \[ \int \frac{A}{x - 3} \, dx + \int \frac{B}{x - 1} \, dx + \int \frac{C}{x + 1} \, dx \] 7. Resultado final: A integral resultará em uma combinação de logaritmos naturais e uma constante de integração \(C\). Se precisar de mais detalhes sobre cada passo, é só avisar!